Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = cos(x) sen(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função no intervalo de a . A gente precisa descobrir alguns comportamentos dessa função, como pontos críticos, onde ela cresce ou decresce, seus máximos e mínimos locais, como ela está côncava, pontos de inflexão e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender melhor o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento ou decrescimento.
A função é:
Para derivar , usamos a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é , vamos resolver:
Isso acontece quando e no intervalo de a .

Passo 4

Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira em cada intervalo determinado pelos pontos críticos e .
  1. Intervalo :
    • Escolha .
    • (positivo).
    • Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha .
    • (negativo).
    • Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Escolha .
    • (positivo).
    • Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).
  • Em :
    • A função muda de crescente para decrescente.
    • Então, é um ponto de máximo local.
  • Em :
    • A função muda de decrescente para crescente.
    • Então, é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão.
A derivada primeira é:
Podemos reescrever isso usando a identidade trigonométrica:
Agora, derivando novamente para obter a derivada segunda:

Passo 7

Vamos analisar a concavidade utilizando a derivada segunda :
  • Se : a função é concava para cima.
  • Se : a função é concava para baixo.
No intervalo de a :
  1. Intervalo :
    • Escolha .
    • (negativo).
    • Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Escolha .
    • (positivo).
    • Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 8

Vamos identificar os pontos de inflexão, que são os valores de onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Resolvendo :
No intervalo , temos:
  • é um ponto de inflexão.

Passo 9

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que obtivemos:
  • Intervalos de crescimento: e .
  • Intervalo de decrescimento: .
  • Máximo local em .
  • Mínimo local em .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em .
    • Concava para cima em .
  • Ponto de inflexão em .
Com tudo isso, podemos desenhar o gráfico mostrando esses comportamentos.

Resposta

A função no intervalo de a possui:
  • Pontos Críticos em e .
  • Intervalos de Crescimento em e .
  • Intervalo de Decrescimento em .
  • Máximo Local em .
  • Mínimo Local em .
  • Concavidade para Baixo em .
  • Concavidade para Cima em .
  • Ponto de Inflexão em .
Esses pontos e intervalos permitem esboçar o gráfico da função conforme descrito.

Exercícios relacionados

Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = -2 x^3 + 6 x^2 - 3
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(3) x - 2 cos(x), 0 <= x <= 2 pi
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (2*x^2 + x - 1) / (x^2 - 1)
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(|x - 4|)