Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
no intervalo de
a
. A gente precisa descobrir alguns comportamentos dessa função, como pontos críticos, onde ela cresce ou decresce, seus máximos e mínimos locais, como ela está côncava, pontos de inflexão e, por fim, desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender melhor o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e os intervalos de crescimento ou decrescimento.
A função é:
Para derivar
, usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é
, vamos resolver:
Isso acontece quando
e
no intervalo de
a
.
Passo 4
Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira em cada intervalo determinado pelos pontos críticos
e
.
-
Intervalo
: - Escolha
. -
(positivo). - Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
. -
(negativo). - Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
. -
(positivo). - Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha
Passo 5
Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo locais. Esses pontos ocorrem nos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente (máximo) ou de decrescente para crescente (mínimo).
-
Em
: - A função muda de crescente para decrescente.
- Então,
é um ponto de máximo local.
-
Em
: - A função muda de decrescente para crescente.
- Então,
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão.
A derivada primeira é:
Podemos reescrever isso usando a identidade trigonométrica:
Agora, derivando novamente para obter a derivada segunda:
Passo 7
Vamos analisar a concavidade utilizando a derivada segunda
:
- Se
: a função é concava para cima. - Se
: a função é concava para baixo.
No intervalo de
a
:
-
Intervalo
: - Escolha
. -
(negativo). - Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
. -
(positivo). - Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
- Escolha
Passo 8
Vamos identificar os pontos de inflexão, que são os valores de
onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Resolvendo
:
No intervalo
, temos:
-
é um ponto de inflexão.
Passo 9
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico com todas as informações que obtivemos:
- Intervalos de crescimento:
e . - Intervalo de decrescimento:
. - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Concavidade:
- Concava para baixo em
. - Concava para cima em
.
- Concava para baixo em
- Ponto de inflexão em
.
Com tudo isso, podemos desenhar o gráfico mostrando esses comportamentos.
Resposta
A função
no intervalo de
a
possui:
- Pontos Críticos em
e . - Intervalos de Crescimento em
e . - Intervalo de Decrescimento em
. - Máximo Local em
. - Mínimo Local em
. - Concavidade para Baixo em
. - Concavidade para Cima em
. - Ponto de Inflexão em
.
Esses pontos e intervalos permitem esboçar o gráfico da função conforme descrito.
Exercícios relacionados
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;