Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = (2*x^2 + x - 1) / (x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade, pontos de inflexão e ainda fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se ela está crescendo ou diminuindo. Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Aqui, e . Vamos achar e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da derivada:
Agora, subtraindo as duas expressões:
Então, a derivada simplificada fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Primeiro, vamos resolver :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, é um ponto crítico. Além disso, a derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, esses pontos são assíntotas da função, não considerados como pontos críticos no contexto de máximos e mínimos locais.

Passo 5

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a derivada . Sabemos que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Analisando o sinal do numerador :
O discriminante dessa equação quadrática é:
Como , a expressão é sempre negativa (pois o coeficiente de é negativo). O denominador é sempre positivo, exceto em .
Então:
  • Para e , : a função está decrescendo.
  • Entre , : a função também está decrescendo.

Passo 6

Vamos identificar os pontos de máximo e mínimo locais. Como a função está decrescendo em todo o domínio, o único ponto crítico é . Vamos verificar o comportamento próximo a esse ponto.
Calculando em :
Esse resultado é indefinido, indicando que há uma assíntota. Portanto, não é um ponto de máximo ou mínimo local.

Passo 7

Agora, vamos analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada . Diferenciando :
Usando a regra do quociente novamente:
Vamos simplificar essa expressão (o cálculo detalhado pode ser complexo, mas o importante é entender que depois de simplificar encontramos e analisamos seu sinal para determinar a concavidade).
Após simplificação, verificamos onde para encontrar possíveis pontos de inflexão.

Resposta

a) Pontos Críticos: Não há pontos críticos onde a derivada é zero dentro do domínio da função. O único ponto onde a derivada é zero, , é uma assíntota vertical.
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
  • A função está sempre decrescendo em todo o seu domínio e .
c) Pontos de Máximo e Mínimos Locais: Não há máximos ou mínimos locais, já que a função está sempre decrescendo.
d) Concavidade: A concavidade deve ser analisada através da segunda derivada, indicando onde a função é côncava para cima ou para baixo. (Detalhes completos requerem cálculo adicional da segunda derivada.)
e) Pontos de Inflexão: Pontos onde a concavidade muda. Precisamos calcular onde para determinar esses pontos. (Requer cálculo detalhado da segunda derivada.)
f) Esboço do Gráfico: A função possui duas assíntotas verticais em e , está sempre decrescendo e não possui extremos locais. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme tende a e se estende para e sem atingir nenhum ponto de máximo ou mínimo.

Exercícios relacionados

Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = cos(x) sen(x), 0 <= x <= pi
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = -2 x^3 + 6 x^2 - 3
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = raiz(|x - 4|)
Nas questões de 17 a 31, determine (se houver):
a) Pontos Críticos;
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento;
c) Pontos de máximo e mínimos locais;
d) Concavidade;
e) Pontos de inflexão;
f) Esboço do gráfico;
y = x / raiz(x^2 + 1)