Nas questões abaixo, responda V se verdadeira e F se falsa, justificando suas respostas.
Seja T: V W uma transformação linear. Se alpha=v1, v2, ldots, vn é uma base em V, entâo beta=T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é uma base em W.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma transformação linear e uma base em . A questão afirma que, ao aplicar em cada vetor de , obtemos uma nova base em . Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Uma transformação linear tem duas propriedades importantes: linearidade e imagem. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando aos vetores de .

Passo 4

Para que seja uma base em , precisamos que:
  1. Linearmente Independente: Os vetores em não podem ser expressos como combinações lineares uns dos outros.
  2. Gerar : Qualquer vetor em deve ser uma combinação linear dos vetores em .

Passo 5

No entanto, a aplicação de aos vetores de nem sempre garante essas duas condições:
  • Linearmente Independente: Se a transformação não for injetora (ou seja, se ), então pode haver vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em , tornando-os dependentes.
  • Gerar : Se não for sobreato (ou seja, se a imagem de não for todo ), então não conseguirá gerar todo o espaço .

Passo 6

Portanto, para que seja verdadeiramente uma base em , a transformação precisa ser injetora e sobreato (uma isomorfismo). Como a questão não especifica que possui essas propriedades, não podemos garantir que seja sempre uma base em .

Resposta

F

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