Nas questões abaixo, responda
se verdadeira e
se falsa, justificando suas respostas.
Seja
uma transformação linear. Se
é uma base em
, entâo
é uma base em
.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma transformação linear
e uma base
em
. A questão afirma que, ao aplicar
em cada vetor de
, obtemos uma nova base
em
. Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base em um espaço vetorial. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Uma transformação linear
tem duas propriedades importantes: linearidade e imagem. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser obtidos aplicando
aos vetores de
.
Passo 4
Para que
seja uma base em
, precisamos que:
- Linearmente Independente: Os vetores em
não podem ser expressos como combinações lineares uns dos outros. - Gerar
: Qualquer vetor em deve ser uma combinação linear dos vetores em .
Passo 5
No entanto, a aplicação de
aos vetores de
nem sempre garante essas duas condições:
-
Linearmente Independente: Se a transformação
não for injetora (ou seja, se ), então pode haver vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em , tornando-os dependentes. -
Gerar
: Se não for sobreato (ou seja, se a imagem de não for todo ), então não conseguirá gerar todo o espaço .
Passo 6
Portanto, para que
seja verdadeiramente uma base em
, a transformação
precisa ser injetora e sobreato (uma isomorfismo). Como a questão não especifica que
possui essas propriedades, não podemos garantir que
seja sempre uma base em
.
Resposta
F