1. (vator 2.0 pis ) Considere os seguinten subespaços U=[(1,0,0),(2,1,-1)] e W=[(0,1,0),(0,0,1)]. E possivel afimar que 9^3=U WW? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o espaço tridimensional R^3 é a soma direta dos subespaços U e W que são gerados pelos vetores U = (1,0,0), (2,1,-1) e W = (0,1,0), (0,0,1). Ou seja, queremos saber se R^3 = U oplus W. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, soma direta e como verificar se dois subespaços somam para o espaço todo sem se sobrepor, ou seja, a intersecção deles é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar as dimensões dos subespaços U e W. A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base para ele (ou seja, vetores linearmente independentes que o geram).
Para U = (1,0,0), (2,1,-1):
  • Tem dois vetores. Precisamos ver se eles são linearmente independentes.
  • Se não existe um escalar k tal que (2,1,-1) = k(1,0,0), então eles são independentes.
  • Claramente, não existe, pois os componentes não são proporcionais.
  • Então, dim(U) = 2.
Para W = (0,1,0), (0,0,1):
  • Também tem dois vetores.
  • Claramente, são linearmente independentes porque não há um escalar que multiplique um para dar o outro.
  • Então, dim(W) = 2.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a soma direta de dois subespaços U e W satisfaz que:
dim(U) + dim(W) = dim(R^3) + dim(U cap W)
Queremos que R^3 = U oplus W, então precisamos que a intersecção U cap W seja apenas o vetor zero, ou seja, dim(U cap W) = 0.
Vamos calcular:
dim(U) + dim(W) = 2 + 2 = 4
A dimensão de R^3 é 3, então:
4 = 3 + dim(U cap W) implies dim(U cap W) = 1
Isso significa que U e W têm uma intersecção de dimensão 1, ou seja, existe pelo menos um vetor diferente de zero que está em ambos.

Passo 4

Como a intersecção U cap W não é apenas o vetor zero, isso significa que U e W não são somas diretas que formam R^3. Em termos simples, eles “se sobrepõem” um pouquinho, então a soma não é direta.

Resposta

Não, não é possível afirmar que R^3 = U oplus W, pois os subespaços U e W têm uma intersecção não trivial além do vetor zero.

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