- (vator 2.0 pis
Considere os seguinten subespaços
e
. E possivel afimar que
WW? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o espaço tridimensional
é a soma direta dos subespaços
e
que são gerados pelos vetores
e
. Ou seja, queremos saber se
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços, soma direta e como verificar se dois subespaços somam para o espaço todo sem se sobrepor, ou seja, a intersecção deles é apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar as dimensões dos subespaços
e
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base para ele (ou seja, vetores linearmente independentes que o geram).
Para
:
- Tem dois vetores. Precisamos ver se eles são linearmente independentes.
- Se não existe um escalar
tal que , então eles são independentes. - Claramente, não existe, pois os componentes não são proporcionais.
- Então,
.
Para
:
- Também tem dois vetores.
- Claramente, são linearmente independentes porque não há um escalar que multiplique um para dar o outro.
- Então,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a soma direta de dois subespaços
e
satisfaz que:
Queremos que
, então precisamos que a intersecção
seja apenas o vetor zero, ou seja,
.
Vamos calcular:
A dimensão de é 3, então:
A dimensão de
Isso significa que
e
têm uma intersecção de dimensão 1, ou seja, existe pelo menos um vetor diferente de zero que está em ambos.
Passo 4
Como a intersecção
não é apenas o vetor zero, isso significa que
e
não são somas diretas que formam
. Em termos simples, eles “se sobrepõem” um pouquinho, então a soma não é direta.
Resposta
Não, não é possível afirmar que
, pois os subespaços
e
têm uma intersecção não trivial além do vetor zero.