Seja
uma transformação linear dada por
.
é um isomorfismo? Se verdadeiro, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. A pergunta é:
é um isomorfismo? Se for, a gente também precisa encontrar o inverso de
, chamado de
.
O que é um isomorfismo? Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobretida (todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio). Se
for um isomorfismo, isso significa que existe uma transformação inversa
que desfaz o que
fez.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Para uma transformação linear de
para
, a matriz tem a forma:
onde cada coluna representa como a transformação age nas bases canônicas
e
.
Dado
, podemos identificar os coeficientes:
Passo 3
Para verificar se
é um isomorfismo, precisamos checar se a matriz
é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
O determinante
de uma matriz 2x2 é calculado por:
Substituindo os valores de
:
Como
, a matriz
é invertível. Isso significa que
é um isomorfismo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um isomorfismo, vamos encontrar a sua matriz inversa
. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Com a matriz inversa
em mãos, podemos definir a transformação inversa
. Se
, então:
Resposta
Sim,
é um isomorfismo. A transformação inversa é
.