Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear dada por T(x, y)=(x-2 y,-x+y). T é um isomorfismo? Se verdadeiro, determine T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . A pergunta é: é um isomorfismo? Se for, a gente também precisa encontrar o inverso de , chamado de .
O que é um isomorfismo? Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobretida (todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio). Se for um isomorfismo, isso significa que existe uma transformação inversa que desfaz o que fez.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = a & b c & d como uma matriz. Para uma transformação linear de A = 1 & -2 -1 & 1 para , a matriz tem a forma:
onde cada coluna representa como a transformação age nas bases canônicas e .
Dado , podemos identificar os coeficientes:

Passo 3

Para verificar se det(A) = ad - bc é um isomorfismo, precisamos checar se a matriz det(A) = (1)(1) - (-2)(-1) = 1 - 2 = -1 é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
O determinante de uma matriz 2x2 é calculado por:
Substituindo os valores de :
Como , a matriz é invertível. Isso significa que é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é um isomorfismo, vamos encontrar a sua matriz inversa A^-1 = 1-1 1 & 2 1 & 1 = -1 & -2 -1 & -1 . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Com a matriz inversa -1 & -2 -1 & -1 em mãos, podemos definir a transformação inversa T^-1(a, b) = ( -1 cdot a + (-2) cdot b,, -1 cdot a + (-1) cdot b ) = (-a - 2b,, -a - b) . Se , então:

Resposta

Sim, é um isomorfismo. A transformação inversa é .

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