Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . A gente tem uma matriz que representa essa transformação nas bases dadas, e o objetivo é descobrir como age sobre um vetor qualquer de . Para resolver isso, vamos precisar entender bases, transformações lineares e como aplicar a matriz da transformação.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o vetor na base . Isso significa encontrar os coeficientes tais que:
Vamos montar o sistema de equações:
Da segunda equação, vemos que . Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então, os coeficientes são:
Passo 3
Agora que temos a representação do vetor na base [T]beta^alpha = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 , vamos aplicar a transformação linear usando a matriz [T]beta^alpha cdot c1 c2 c3 = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 cdot y x - z + y z - y :
-1 cdot y + 0 cdot (x - z + y) + 1 cdot (z - y) 2 cdot y + 1 cdot (x - z + y) + (-1) cdot (z - y) = - y + z - y 2y + x - z + y - z + y = -2y + z x + 4y - 2z
A transformação no sistema de coordenadas da base é dada por:
Fazendo a multiplicação:
Passo 4
Esse resultado está na base , que na verdade é a base padrão de . Então, não precisamos converter mais nada. A transformação já está expressa em coordenadas padrão.