Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rrr -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 ]
onde alpha=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e beta=(1,0),(0,1). Determine T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . A gente tem uma matriz que representa essa transformação nas bases dadas, e o objetivo é descobrir como age sobre um vetor qualquer de . Para resolver isso, vamos precisar entender bases, transformações lineares e como aplicar a matriz da transformação.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o vetor (x, y, z) = c1(0,1,1) + c2(1,0,0) + c3(1,0,1) na base 0 cdot c1 + 1 cdot c2 + 1 cdot c3 = x 1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 0 cdot c3 = y 1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3 = z . Isso significa encontrar os coeficientes y + c3 = z Rightarrow c3 = z - y tais que:
0 cdot y + 1 cdot c2 + 1 cdot (z - y) = x Rightarrow c2 = x - z + y
Vamos montar o sistema de equações:
c1 = y, c2 = x - z + y, c3 = z - y
Da segunda equação, vemos que . Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então, os coeficientes são:

Passo 3

Agora que temos a representação do vetor na base [T]beta^alpha = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 , vamos aplicar a transformação linear usando a matriz [T]beta^alpha cdot c1 c2 c3 = -1 & 0 & 1 2 & 1 & -1 cdot y x - z + y z - y :
-1 cdot y + 0 cdot (x - z + y) + 1 cdot (z - y) 2 cdot y + 1 cdot (x - z + y) + (-1) cdot (z - y) = - y + z - y 2y + x - z + y - z + y = -2y + z x + 4y - 2z
A transformação no sistema de coordenadas da base é dada por:
Fazendo a multiplicação:

Passo 4

Esse resultado está na base , que na verdade é a base padrão de . Então, não precisamos converter mais nada. A transformação já está expressa em coordenadas padrão.

Resposta

T(x, y, z) = (-2y + z, x + 4y - 2z)

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