Questões (REVISÃO) (6). Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função sendo a quantidade inicial de água no reservatório e a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como a quantidade de água em um reservatório muda ao longo do tempo durante um período de seca. Estamos lidando com um problema de decaimento exponencial, que faz parte do conteúdo de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como usar logaritmos para encontrar o tempo quando a água será reduzida à metade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a quantidade de água no reservatório:
Aqui, é a quantidade inicial de água e é a quantidade após meses.

Passo 3

Queremos encontrar em quantos meses ( ) a quantidade de água será metade do inicial, ou seja:

Passo 4

Substituímos na equação:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Vou usar o logaritmo natural (ln):

Passo 6

Usando a propriedade do logaritmo que diz , temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar :

Passo 8

Calculando os valores dos logaritmos:

Passo 9

Substituindo os valores na equação:

Resposta

A quantidade de água no reservatório será reduzida à metade em aproximadamente 4,3 meses.

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