Um químico resolveu prepara um material de referência para controle de qualidade para a análise de níquel em catalisador. Após preparação adequada do material, tomou 8 porções da amostra e encontrou os seguintes teores de níquel:
Amostras | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teor de Ni (ppm) | 525 | 530 | 490 | 550 | 480 | 510 | 515 | 505 |
Calcule os níveis de confiança entorno dos intervalos 99.7%, 95,5% e 68,3%
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de estatística onde um químico mediu o teor de níquel em 8 amostras de um catalisador. Os valores obtidos foram: 525, 530, 490, 550, 480, 510, 515 e 505 ppm (partes por milhão). Nosso objetivo aqui é calcular os intervalos de confiança em torno da média desses dados para os níveis de confiança de 68,3%, 95,5% e 99,7%. Para isso, vamos precisar entender conceitos como média, desvio padrão e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos teores de níquel nas amostras. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de amostras.
Vamos fazer as contas:
Então, a média é aproximadamente 525,63 ppm.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão (s), que nos mostra o quanto os valores individuais diferem da média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
Onde:
- $ n $ é o número de amostras (n=8)
- $ x_i $ são os valores individuais
Vamos calcular cada parte:
Somando todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de amostras menos um:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 26,09 ppm.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média (SE), que indica o quanto a média da amostra pode variar da média real da população. A fórmula é:
Onde:
- $ s $ é o desvio padrão (26,09 ppm)
- $ n $ é o número de amostras (8)
Então,
O erro padrão é aproximadamente 9,22 ppm.
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores críticos relacionados aos níveis de confiança desejados. Esses valores nos ajudam a definir quanto acima e abaixo da média devemos considerar para incluir essa porcentagem dos dados.
Os níveis de confiança e seus valores críticos (z) para uma distribuição normal são:
- 68,3%: $ z = 1 $
- 95,5%: $ z = 2 $
- 99,7%: $ z = 3 $
Esses valores representam quantos desvios padrão (ou erros padrão) devemos considerar para capturar aquela porcentagem dos dados.
Passo 6
Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula:
Vamos calcular para cada nível de confiança:
- 68,3% de confiança ($ z = 1 $)
- 95,5% de confiança ($ z = 2 $)
- 99,7% de confiança ($ z = 3 $)
Resposta
Os intervalos de confiança para os teores de níquel no catalisador são:
- 68,3% de confiança: entre 516,41 ppm e 534,85 ppm
- 95,5% de confiança: entre 507,19 ppm e 544,07 ppm
- 99,7% de confiança: entre 497,97 ppm e 553,29 ppm