Um químico resolveu prepara um material de referência para controle de qualidade para a análise de níquel em catalisador. Após preparação adequada do material, tomou 8 porções da amostra e encontrou os seguintes teores de níquel:
Amostras 1 2 3 4 5 6 7 8
Teor de Ni (ppm) 525 530 490 550 480 510 515 505
Calcule os níveis de confiança entorno dos intervalos 99.7%, 95,5% e 68,3%

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de estatística onde um químico mediu o teor de níquel em 8 amostras de um catalisador. Os valores obtidos foram: 525, 530, 490, 550, 480, 510, 515 e 505 ppm (partes por milhão). Nosso objetivo aqui é calcular os intervalos de confiança em torno da média desses dados para os níveis de confiança de 68,3%, 95,5% e 99,7%. Para isso, vamos precisar entender conceitos como média, desvio padrão e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos teores de níquel nas amostras. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de amostras.
Média (x) = 525 + 530 + 490 + 550 + 480 + 510 + 515 + 5058 é
Vamos fazer as contas:
x = 42058 = 525,625 , ppm
Então, a média é aproximadamente 525,63 ppm.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão (s), que nos mostra o quanto os valores individuais diferem da média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
s = raiz1n-1 sumi=1^n (xi - x)^2
Onde:
  • $ n $ é o número de amostras (n=8)
  • $ x_i $ são os valores individuais
Vamos calcular cada parte:
n
Somando todos esses valores:
xi
Agora, dividimos pela quantidade de amostras menos um:
(525 - 525,625)^2 &= (-0,625)^2 = 0,3906 (530 - 525,625)^2 &= 4,375^2 = 19,1406 (490 - 525,625)^2 &= (-35,625)^2 = 1269,1406 (550 - 525,625)^2 &= 24,375^2 = 593,1406 (480 - 525,625)^2 &= (-45,625)^2 = 2081,6406 (510 - 525,625)^2 &= (-15,625)^2 = 244,1406 (515 - 525,625)^2 &= (-10,625)^2 = 112,8906 (505 - 525,625)^2 &= (-20,625)^2 = 425,3906
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
0,3906 + 19,1406 + 1269,1406 + 593,1406 + 2081,6406 + 244,1406 + 112,8906 + 425,3906 = 4765,875
Então, o desvio padrão é aproximadamente 26,09 ppm.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média (SE), que indica o quanto a média da amostra pode variar da média real da população. A fórmula é:
SE = sraizn
Onde:
  • $ s $ é o desvio padrão (26,09 ppm)
  • $ n $ é o número de amostras (8)
Então,
s
O erro padrão é aproximadamente 9,22 ppm.

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores críticos relacionados aos níveis de confiança desejados. Esses valores nos ajudam a definir quanto acima e abaixo da média devemos considerar para incluir essa porcentagem dos dados.
Os níveis de confiança e seus valores críticos (z) para uma distribuição normal são:
  • 68,3%: $ z = 1 $
  • 95,5%: $ z = 2 $
  • 99,7%: $ z = 3 $
Esses valores representam quantos desvios padrão (ou erros padrão) devemos considerar para capturar aquela porcentagem dos dados.

Passo 6

Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula:
Intervalo de Confiança = x pm z times SE ç
Vamos calcular para cada nível de confiança:
  1. 68,3% de confiança ($ z = 1 $)
z = 1
  1. 95,5% de confiança ($ z = 2 $)
525,63 pm 1 times 9,22 = [525,63 - 9,22, , 525,63 + 9,22] = [516,41, , 534,85] , ppm
  1. 99,7% de confiança ($ z = 3 $)
z = 2

Resposta

Os intervalos de confiança para os teores de níquel no catalisador são:
  • 68,3% de confiança: entre 516,41 ppm e 534,85 ppm
  • 95,5% de confiança: entre 507,19 ppm e 544,07 ppm
  • 99,7% de confiança: entre 497,97 ppm e 553,29 ppm

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