Um químico resolveu prepara um material de referência para controle de qualidade para a análise de níquel em catalisador. Após preparação adequada do material, tomou 8 porções da amostra e encontrou os seguintes teores de níquel:
Amostras 1 2 3 4 5 6 7 8
Teor de Ni (ppm) 525 530 490 550 480 510 515 505
Analise a possibilidade de aplicação do Teste T e interprete o resultado;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um químico que preparou um material de referência para controlar a qualidade na análise de níquel em catalisadores. Ele tirou 8 amostras e mediu a quantidade de níquel em cada uma, obtendo os valores: 525, 530, 490, 550, 480, 510, 515 e 505 ppm. A tarefa aqui é analisar se podemos usar o Teste T para esses dados e interpretar o resultado.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste T, quando ele pode ser aplicado e como interpretar seus resultados. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste T. O Teste T é uma ferramenta estatística usada para comparar a média de um conjunto de dados com um valor conhecido ou para comparar as médias de dois grupos diferentes. Ele é útil especialmente quando temos um número pequeno de amostras, geralmente menos de 30, o que é o nosso caso aqui com 8 amostras.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os dados atendem aos pressupostos para aplicar o Teste T. Os principais são:
  1. Normalidade dos dados: Os dados devem seguir uma distribuição aproximadamente normal.
  2. Dados independentes: As observações devem ser independentes umas das outras.
  3. Escala de medida intervalar ou razão: Os dados devem ser contínuos e medidos em uma escala apropriada.
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

Normalidade dos dados: Com apenas 8 amostras, é um pouco difícil testar a normalidade de forma precisa, mas podemos fazer uma análise visual usando um gráfico de probabilidades normais (QQ-Plot) ou calcular o coeficiente de assimetria. No entanto, para simplificar, vamos assumir que os dados são aproximadamente normais, já que não temos indicações claras de que não são.
Independência dos dados: Assumimos que cada amostra foi coletada de forma independente, ou seja, uma medição não afeta a outra.
Escala de medida: Os valores de níquel estão em ppm, o que é uma escala de razão adequada para o Teste T.
Com esses pressupostos atendidos, podemos prosseguir para aplicar o Teste T.

Passo 5

Vamos calcular a média ( barx), o desvio padrão (s) e o erro padrão da média (SEM) dos nossos dados.
Primeiro, somamos todos os valores e dividimos pelo número de amostras para encontrar a média:
barx = 525 + 530 + 490 + 550 + 480 + 510 + 515 + 5058 = 40258 = 503,125 , ppm
Em seguida, calculamos o desvio padrão (s):
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando cada termo:
(525 - 503,125)^2 = 479,0156
(530 - 503,125)^2 = 716,0156
(490 - 503,125)^2 = 172,2656
(550 - 503,125)^2 = 2193,2656
(480 - 503,125)^2 = 529,5156
(510 - 503,125)^2 = 47,2656
(515 - 503,125)^2 = 141,0156
(505 - 503,125)^2 = 3,5156
Somando todos esses valores:
479,0156 + 716,0156 + 172,2656 + 2193,2656 + 529,5156 + 47,2656 + 141,0156 + 3,5156 = 423,858
Agora, dividimos pela quantidade de amostras menos um (n - 1 = 7):
s = raiz4238,587 = raiz605,51 approx 24,61 , ppm
O erro padrão da média (SEM) é:
SEM = sraizn = 24,61raiz8 approx 24,612,828 approx 8,69 , ppm

Passo 6

Agora, vamos formular nossa hipótese para o Teste T. Geralmente, queremos testar se a média das amostras é igual a um valor conhecido ou se há diferença significativa.
Suponhamos que o valor padrão aceitável para o teor de níquel seja, por exemplo, 500 ppm. Então, nossas hipóteses seriam:
  • Hipótese nula ( H0): A média das amostras é igual a 500 ppm.
  • Hipótese alternativa ( HA): A média das amostras é diferente de 500 ppm.

Passo 7

Vamos calcular o valor t usando a fórmula:
t = barx - muSEM = 503,125 - 5008,69 approx 3,1258,69 approx 0,36
Onde:
  • barx é a média das amostras,
  • mu é a média hipotética (500 ppm),
  • SEM é o erro padrão da média.

Passo 8

Agora, precisamos determinar o valor crítico de t para nosso teste. Como temos 8 amostras, os graus de liberdade (df) são n - 1 = 7.
Vamos considerar um nível de significância de 5% (α = 0,05) para um teste bicaudal.
Consultando a tabela t-Student para df = 7 e α/2 = 0,025 em cada cauda, o valor crítico é aproximadamente 2,365.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de t (0,36) com o valor crítico (2,365):
  • Se |t| > 2,365, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |t| <= 2,365, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 0,36 < 2,365. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Após aplicar o Teste T, verificamos que o valor calculado (0,36) é menor que o valor crítico (2,365). Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a média do teor de níquel nas amostras difere de 500 ppm. Assim, podemos concluir que a aplicação do Teste T é apropriada e que não há variação significativa no teor de níquel das amostras analisadas.

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