Um químico resolveu prepara um material de referência para controle de qualidade para a análise de níquel em catalisador. Após preparação adequada do material, tomou 8 porções da amostra e encontrou os seguintes teores de níquel:
Amostras | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teor de Ni (ppm) | 525 | 530 | 490 | 550 | 480 | 510 | 515 | 505 |
Analise a possibilidade de aplicação do Teste T e interprete o resultado;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um químico que preparou um material de referência para controlar a qualidade na análise de níquel em catalisadores. Ele tirou 8 amostras e mediu a quantidade de níquel em cada uma, obtendo os valores: 525, 530, 490, 550, 480, 510, 515 e 505 ppm. A tarefa aqui é analisar se podemos usar o Teste T para esses dados e interpretar o resultado.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste T, quando ele pode ser aplicado e como interpretar seus resultados. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste T. O Teste T é uma ferramenta estatística usada para comparar a média de um conjunto de dados com um valor conhecido ou para comparar as médias de dois grupos diferentes. Ele é útil especialmente quando temos um número pequeno de amostras, geralmente menos de 30, o que é o nosso caso aqui com 8 amostras.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se os dados atendem aos pressupostos para aplicar o Teste T. Os principais são:
- Normalidade dos dados: Os dados devem seguir uma distribuição aproximadamente normal.
- Dados independentes: As observações devem ser independentes umas das outras.
- Escala de medida intervalar ou razão: Os dados devem ser contínuos e medidos em uma escala apropriada.
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
Normalidade dos dados: Com apenas 8 amostras, é um pouco difícil testar a normalidade de forma precisa, mas podemos fazer uma análise visual usando um gráfico de probabilidades normais (QQ-Plot) ou calcular o coeficiente de assimetria. No entanto, para simplificar, vamos assumir que os dados são aproximadamente normais, já que não temos indicações claras de que não são.
Independência dos dados: Assumimos que cada amostra foi coletada de forma independente, ou seja, uma medição não afeta a outra.
Escala de medida: Os valores de níquel estão em ppm, o que é uma escala de razão adequada para o Teste T.
Com esses pressupostos atendidos, podemos prosseguir para aplicar o Teste T.
Passo 5
Vamos calcular a média (
), o desvio padrão (s) e o erro padrão da média (SEM) dos nossos dados.
Primeiro, somamos todos os valores e dividimos pelo número de amostras para encontrar a média:
Em seguida, calculamos o desvio padrão (s):
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de amostras menos um (n - 1 = 7):
O erro padrão da média (SEM) é:
Passo 6
Agora, vamos formular nossa hipótese para o Teste T. Geralmente, queremos testar se a média das amostras é igual a um valor conhecido ou se há diferença significativa.
Suponhamos que o valor padrão aceitável para o teor de níquel seja, por exemplo, 500 ppm. Então, nossas hipóteses seriam:
- Hipótese nula (
): A média das amostras é igual a 500 ppm. - Hipótese alternativa (
): A média das amostras é diferente de 500 ppm.
Passo 7
Vamos calcular o valor t usando a fórmula:
Onde:
-
é a média das amostras, -
é a média hipotética (500 ppm), -
é o erro padrão da média.
Passo 8
Agora, precisamos determinar o valor crítico de t para nosso teste. Como temos 8 amostras, os graus de liberdade (df) são n - 1 = 7.
Vamos considerar um nível de significância de 5% (α = 0,05) para um teste bicaudal.
Consultando a tabela t-Student para df = 7 e α/2 = 0,025 em cada cauda, o valor crítico é aproximadamente 2,365.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de t (0,36) com o valor crítico (2,365):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 0,36 < 2,365. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Após aplicar o Teste T, verificamos que o valor calculado (0,36) é menor que o valor crítico (2,365). Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a média do teor de níquel nas amostras difere de 500 ppm. Assim, podemos concluir que a aplicação do Teste T é apropriada e que não há variação significativa no teor de níquel das amostras analisadas.