r)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a função e precisamos encontrar a sua derivada, que é . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivação de funções compostas e a regra da cadeia, para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é a função arco-cotangente, que é a inversa da cotangente. A derivada de em relação a é:
Isso significa que, para derivar , precisamos aplicar a regra da cadeia, já que temos uma função composta.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é o produto da derivada externa pela derivada interna. Neste caso:
onde . Já sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da derivada:
Simplificando os sinais:

Passo 6

Vamos simplificar o denominador:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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g)
u)
a)