Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
e uma sequência
, onde
. O objetivo é calcular o limite de
quando
tende ao infinito, ou seja,
.
Vamos precisar entender sobre somatórios e limites, além de como eles se relacionam com a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ele é uma soma que calcula a área aproximada sob a curva da função
no intervalo
. Cada termo da soma é dado por
, onde
é a largura de cada intervalo.
Passo 3
Essa soma é um exemplo de soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenas partes (retângulos). Conforme
aumenta, as larguras
ficam menores, e a soma fica mais precisa.
Passo 4
Agora, vamos escrever a soma
de forma mais clara:
Aqui, substituímos
por
, já que
.
Passo 5
Simplificando a soma:
Agora, precisamos calcular a soma dos primeiros
números naturais, que é uma fórmula conhecida.
Passo 6
Sabemos que:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 7
Agora, simplificando a fração:
Isso nos ajuda a ver o comportamento de
quando
cresce.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.