Seja f(x)=x, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De. Calcule lim sn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo e uma sequência , onde . O objetivo é calcular o limite de quando tende ao infinito, ou seja, .
Vamos precisar entender sobre somatórios e limites, além de como eles se relacionam com a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ele é uma soma que calcula a área aproximada sob a curva da função no intervalo . Cada termo da soma é dado por , onde é a largura de cada intervalo.

Passo 3

Essa soma é um exemplo de soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenas partes (retângulos). Conforme aumenta, as larguras ficam menores, e a soma fica mais precisa.

Passo 4

Agora, vamos escrever a soma sn = sumi=1^n f(in) cdot 1n = sumi=1^n in cdot 1n = sumi=1^n in^2 de forma mais clara:
Aqui, substituímos por , já que .

Passo 5

Simplificando a soma:
sn = 1n^2 sumi=1^n i
Agora, precisamos calcular a soma dos primeiros números naturais, que é uma fórmula conhecida.

Passo 6

Sabemos que:
sumi=1^n i = n(n+1)2
Substituindo isso na expressão de sn = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n(n+1)2n^2 = n+12n :

Passo 7

Agora, simplificando a fração:
sn = n+12n = n2n + 12n = 12 + 12n
Isso nos ajuda a ver o comportamento de quando cresce.

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o limite quando limn to infty sn = limn to infty ( 12 + 12n ) = 12 + 0 = 12 tende ao infinito:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

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