Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
. Calcule
e interprete geometricamente esta soma. O que ela significa?
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função
definida no intervalo
. A gente vai calcular a soma
, que é uma soma de Riemann, usando 8 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas aproximam a área sob uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Imagine que você quer calcular a área sob a curva de
entre 0 e 1. Uma soma de Riemann faz isso dividindo o intervalo em vários pedaços (neste caso, 8) e somando as áreas de retângulos que estão sob a curva.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a largura de cada subintervalo. A fórmula é:
Então, cada subintervalo tem largura
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os pontos onde vamos avaliar a função. Para uma soma de Riemann à direita, usamos
onde
vai de 1 a 8. Assim, temos os seguintes pontos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para cada
:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar cada valor de
por
:
Passo 7
Agora, vamos somar todos esses valores para obter
:
Vamos converter todas as frações para denominador 512 para facilitar a soma:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos interpretar geometricamente o que encontramos. A soma
representa uma aproximação da área sob a curva de
no intervalo
. Como usamos 8 retângulos para essa aproximação,
nos dá uma ideia de quão próximo estamos da área real conforme aumentamos o número de retângulos.