Seja f(x)=x^2, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De. Calcule S8 e interprete geometricamente esta soma. O que ela significa?

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos a função definida no intervalo . A gente vai calcular a soma , que é uma soma de Riemann, usando 8 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas aproximam a área sob uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Imagine que você quer calcular a área sob a curva de entre 0 e 1. Uma soma de Riemann faz isso dividindo o intervalo em vários pedaços (neste caso, 8) e somando as áreas de retângulos que estão sob a curva.

Passo 3

Vamos calcular De, que é a largura de cada subintervalo. A fórmula é:
Então, cada subintervalo tem largura .

Passo 4

Agora, vamos calcular os pontos onde vamos avaliar a função. Para uma soma de Riemann à direita, usamos 18, 28, 38, dots, 88 onde 18, 14, 38, 12, 58, 34, 78, 1 vai de 1 a 8. Assim, temos os seguintes pontos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular f(18) = (18)^2 = 164 para cada f(28) = (14)^2 = 116 :
f(38) = (38)^2 = 964
f(48) = (12)^2 = 14
f(58) = (58)^2 = 2564
f(68) = (34)^2 = 916
f(78) = (78)^2 = 4964
f(88) = 1^2 = 1

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada valor de 164 times 18 = 1512 por 116 times 18 = 1128 :
964 times 18 = 9512
14 times 18 = 132
2564 times 18 = 25512
916 times 18 = 9128
4964 times 18 = 49512
1 times 18 = 18

Passo 7

Agora, vamos somar todos esses valores para obter S8 = 1512 + 1128 + 9512 + 132 + 25512 + 9128 + 49512 + 18 :
1512 + 4512 + 9512 + 16512 + 25512 + 36512 + 49512 + 64512 = 204512
Vamos converter todas as frações para denominador 512 para facilitar a soma:
204512 = 51128 approx 0,3984
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos interpretar geometricamente o que encontramos. A soma representa uma aproximação da área sob a curva de no intervalo . Como usamos 8 retângulos para essa aproximação, nos dá uma ideia de quão próximo estamos da área real conforme aumentamos o número de retângulos.

Resposta

ou aproximadamente 0,3984. Geometricamente, essa soma representa uma aproximação da área sob a curva de no intervalo de 0 a 1, utilizando 8 retângulos.

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