Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
(l) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, especificamente analisando como essa fração se comporta quando
cresce muito. Para resolver, vamos precisar entender como a raiz quadrada e o fatorial funcionam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Quando
fica bem grande, o termo
domina, então
é bem parecido com
. Ou seja, para números grandes, o numerador cresce aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. O fatorial de
(
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Isso significa que
cresce muito, muito rápido conforme
aumenta. Por exemplo,
,
, e assim por diante. O fatorial cresce mais rápido que qualquer potência de
.
Passo 4
Comparando os dois, temos que o numerador cresce como
e o denominador cresce como
. Já que
cresce muito mais rápido que
, a fração
vai ficando cada vez menor à medida que
aumenta.
Resposta
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(i)
(i)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(d)
(d)
Se
é um número real tal que
, mostre que
O que acontece se
ou
?
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)
(a)