Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, especificamente analisando como essa fração se comporta quando cresce muito. Para resolver, vamos precisar entender como a raiz quadrada e o fatorial funcionam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Quando fica bem grande, o termo domina, então é bem parecido com . Ou seja, para números grandes, o numerador cresce aproximadamente como .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . O fatorial de ( ) é o produto de todos os números inteiros de 1 até . Isso significa que cresce muito, muito rápido conforme aumenta. Por exemplo, , , e assim por diante. O fatorial cresce mais rápido que qualquer potência de .

Passo 4

Comparando os dois, temos que o numerador cresce como e o denominador cresce como . Já que cresce muito mais rápido que , a fração vai ficando cada vez menor à medida que aumenta.

Resposta

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Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(i)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(d)
Se é um número real tal que , mostre que
O que acontece se ou ?
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(a)