Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da sequência , onde , e sabemos que . Vamos usar conceitos de limites e somatórios de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que soma os quatro primeiros poderes dos números naturais. Sabemos que:
Essa fórmula nos permite expressar a soma de forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos substituir a soma na expressão original do limite:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Dividimos cada termo do numerador por :
À medida que cresce, os termos e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

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Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(d)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(a)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
Se é um número real tal que , mostre que
O que acontece se ou ?