Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da sequência
, onde
, e sabemos que
. Vamos usar conceitos de limites e somatórios de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que soma os quatro primeiros poderes dos números naturais. Sabemos que:
Essa fórmula nos permite expressar a soma
de forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos substituir a soma na expressão original do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Dividimos cada termo do numerador por
:
À medida que
cresce, os termos
e
tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Finalmente, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
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Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(d)
(d)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(l) Mostre que
(l) Mostre que
Se
é um número real tal que
, mostre que
O que acontece se
ou
?