Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(i) lim 1^4+2^4+3^4+cdots+n^4n^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da sequência , onde , e sabemos que . Vamos usar conceitos de limites e somatórios de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que soma os quatro primeiros poderes dos números naturais. Sabemos que:
sumk=1^n k^4 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30
Essa fórmula nos permite expressar a soma de forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos substituir a soma na expressão original do limite:
an = sumk=1^n k^4n^5 = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30n^5 = (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30n^4

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Dividimos cada termo do numerador por an = (1 + 1n)(2 + 1n)(3 + 3n - 1n^2)30 :
an approx (1)(2)(3)30 = 630
À medida que cresce, os termos e tendem a zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite quando limn to infty an = 630 = 15 tende ao infinito:

Resposta

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