e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a derivada de uma função , que é , e também informa que o domínio dessa função e da sua derivada é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente, o conceito de antiderivada ou primitiva, para encontrar a função .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função. Se sabemos a derivada, podemos encontrar a função original integrando a derivada. Nesse caso, temos , então vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de :

Passo 4

Vamos integrar termo por termo:
  1. A integral de em relação a é porque aumentamos o expoente de em 1 (de 1 para 2) e dividimos pelo novo expoente.
  2. A integral de em relação a é porque a integral de uma constante é vezes .
Portanto:

Resposta

A função é igual a , onde é uma constante real.

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e .
e .
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