Seja f(x) = { 2, se x ≥ 0; x² + 2, se x < 0 }
f é derivável em x0 = 1 ? Em caso afirmativo, calcule f'(0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é derivável em ? E, caso seja, qual é o valor de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular essa derivada para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se ela for contínua em e se o limite da taxa de variação (a derivada) pela esquerda for igual ao limite pela direita nesse ponto.
Então, precisamos verificar duas coisas:
  1. A função é contínua em ?
  2. As derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais?

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em . Para isso, precisamos que:
Calculando cada parte:
  • Para : . Então,
  • Para : . Então,
E . Como todos os limites são iguais e iguais a , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em .
Primeiro, pela direita ( ):
A derivada de uma constante é zero, então:
Pela esquerda ( ):
A derivada de é , então:

Passo 5

Comparando as derivadas:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais, concluímos que a função é derivável em .

Resposta

Sim, a função é derivável em e .

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r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), 3+u^2)
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b) Determine partial rpartial u(raiz3, pi2) e partial rpartial v(raiz3, pi2), representando-os geometricamente.
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Calcule a derivada das seguintes funções.
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Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = ln(x) e x0 = 1