Seja
é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é derivável em
? E, caso seja, qual é o valor de
?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular essa derivada para funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se ela for contínua em
e se o limite da taxa de variação (a derivada) pela esquerda for igual ao limite pela direita nesse ponto.
Então, precisamos verificar duas coisas:
- A função é contínua em
? - As derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais?
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
. Para isso, precisamos que:
Calculando cada parte:
- Para
: . Então,
- Para
: . Então,
E
. Como todos os limites são iguais e iguais a
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
.
Primeiro, pela direita (
):
A derivada de uma constante é zero, então:
Pela esquerda (
):
A derivada de
é
, então:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais, concluímos que a função é derivável em
.
Resposta
Sim, a função é derivável em
e
.
Exercícios relacionados
para
.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo e
, respectivamente;
b) Determine , representando-os geometricamente.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo
b) Determine
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e
Calcule a derivada das seguintes funções.
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e