S:rl 2 x+3 y-z & =0 x-4 y+5 z & =0
(a) Verifique que x1=1, y1=-1 e z1=-1 é uma solução de S;
(b) Verifique que x2=-2, y1=2 e z1=2 também é uma solução de S;
© É verdade que x=x1+x2, y=y1+y2 e z=z1+z2 é uma solução de S ?
(d) É verdade que 3 x, 3 y e 3 z, onde x, y e z são como no item (c), é uma solução de S ?
(e) Se as respostas de (c) e (d) forem afirmativas, então responda: Por que isso ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações chamado S: rl 2x + 3y - z & = 0 x - 4y + 5z & = 0 :
A gente vai verificar se certos valores de , e resolvem esse sistema e depois ver umas propriedades dessas soluções. Para isso, precisamos saber como substituir os valores nas equações e checar se as igualdades são verdadeiras.

Passo 2

(a) Verificar se 2(1) + 3(-1) - (-1) = 2 - 3 + 1 = 0 , 1 - 4(-1) + 5(-1) = 1 + 4 - 5 = 0 e é uma solução de .
Vamos substituir esses valores nas duas equações do sistema:
Primeira equação:
Segundo equação:
Como as duas equações dão 0, esses valores são uma solução de .

Passo 3

(b) Verificar se 2(-2) + 3(2) - 2 = -4 + 6 - 2 = 0 , -2 - 4(2) + 5(2) = -2 - 8 + 10 = 0 e também é uma solução de .
Vamos substituir esses valores nas duas equações:
Primeira equação:
Segundo equação:
Novamente, as duas equações resultam em 0, então esses valores também são uma soluç��o de .

Passo 4

© É verdade que x = 1 + (-2) = -1 y = -1 + 2 = 1 z = -1 + 2 = 1 , 2(-1) + 3(1) - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 e -1 - 4(1) + 5(1) = -1 - 4 + 5 = 0 é uma solução de ?
Vamos calcular , e :
Agora, substituir esses valores no sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Como as equações são satisfeitas, sim, a soma das soluções também é uma solução de .

Passo 5

(d) É verdade que x' = 3(-1) = -3 y' = 3(1) = 3 z' = 3(1) = 3 , 2(-3) + 3(3) - 3 = -6 + 9 - 3 = 0 e -3 - 4(3) + 5(3) = -3 -12 +15 = 0 , onde , , e são como no item ©, é uma solução de ?
Vamos multiplicar por 3:
Substituindo no sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
As equações são verdadeiras, então multiplicar a solução por 3 também gera uma solução de .

Passo 6

(e) Por que isso ocorre?
Isso acontece porque o sistema é linear. Em sistemas lineares, se você tem duas soluções, a combinação linear (soma e multiplicaç��o por constantes) dessas soluções também será uma solução. Isso é devido à propriedade de aditividade e homogeneidade das equações lineares.

Resposta

A soma das soluções e , assim como qualquer múltiplo dessas soluções, também são soluções do sistema porque ele é linear.

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