(a) Verifique que
e
é uma solução de
;
(b) Verifique que
e
também é uma solução de
;
© É verdade que
e
é uma solução de
?
(d) É verdade que
e
, onde
, y e
são como no item
, é uma solução de
?
(e) Se as respostas de
e
forem afirmativas, então responda: Por que isso ocorre?
(b) Verifique que
© É verdade que
(d) É verdade que
(e) Se as respostas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações chamado
:
A gente vai verificar se certos valores de
,
e
resolvem esse sistema e depois ver umas propriedades dessas soluções. Para isso, precisamos saber como substituir os valores nas equações e checar se as igualdades são verdadeiras.
Passo 2
(a) Verificar se
,
e
é uma solução de
.
Vamos substituir esses valores nas duas equações do sistema:
Primeira equação:
Segundo equação:
Como as duas equações dão 0, esses valores são uma solução de
.
Passo 3
(b) Verificar se
,
e
também é uma solução de
.
Vamos substituir esses valores nas duas equações:
Primeira equação:
Segundo equação:
Novamente, as duas equações resultam em 0, então esses valores também são uma soluç��o de
.
Passo 4
© É verdade que
,
e
é uma solução de
?
Vamos calcular
,
e
:
Agora, substituir esses valores no sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Como as equações são satisfeitas, sim, a soma das soluções também é uma solução de
.
Passo 5
(d) É verdade que
,
e
, onde
,
, e
são como no item ©, é uma solução de
?
Vamos multiplicar por 3:
Substituindo no sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
As equações são verdadeiras, então multiplicar a solução por 3 também gera uma solução de
.
Passo 6
(e) Por que isso ocorre?
Isso acontece porque o sistema
é linear. Em sistemas lineares, se você tem duas soluções, a combinação linear (soma e multiplicaç��o por constantes) dessas soluções também será uma solução. Isso é devido à propriedade de aditividade e homogeneidade das equações lineares.
Resposta
A soma das soluções
e
, assim como qualquer múltiplo dessas soluções, também são soluções do sistema
porque ele é linear.