Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas retas no espaço tridimensional. A primeira reta, , está na forma simétrica, e a segunda reta, , está definida por duas equações que relacionam e com . Nosso objetivo aqui é descobrir para qual valor de essas duas retas se interceptam, ou seja, encontram-se em um ponto comum. Para resolver isso, vamos precisar transformar as equações das retas em formas que possamos comparar e resolver, usando conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a reta em forma paramétrica. A forma simétrica dada é:
Podemos introduzir um parâmetro, digamos , para representar essa igualdade. Assim, temos:
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta , que já está quase na forma paramétrica:
Aqui, podemos expressar e em função de . Para facilitar, vamos usar como parâmetro para :
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção das retas e , precisamos que exista um ponto que satisfaça as equações de ambas as retas. Isso significa que devemos igualar as expressões paramétricas de e :
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de , e .
Primeiro, da equação (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, substituindo na equação (1a):
Agora, vamos substituir na equação (2):

Resposta

O valor de que faz as retas e se interceptarem é .

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