a) r1: x-24=y5=z3 e r2:l y=n x+5 z=2 x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas retas no espaço tridimensional. A primeira reta, , está na forma simétrica, e a segunda reta, , está definida por duas equações que relacionam e com . Nosso objetivo aqui é descobrir para qual valor de essas duas retas se interceptam, ou seja, encontram-se em um ponto comum. Para resolver isso, vamos precisar transformar as equações das retas em formas que possamos comparar e resolver, usando conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a reta x-24 = y5 = z3 em forma paramétrica. A forma simétrica dada é:
x-24 = t Rightarrow x = 4t + 2
Podemos introduzir um parâmetro, digamos y5 = t Rightarrow y = 5t , para representar essa igualdade. Assim, temos:
z3 = t Rightarrow z = 3t
r1: x = 4t + 2 y = 5t z = 3t
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta r2: y = n x + 5 z = 2x - 2 , que já está quase na forma paramétrica:
x = s
Aqui, podemos expressar y = n s + 5 e z = 2s - 2 em função de r2: x = s y = n s + 5 z = 2s - 2 . Para facilitar, vamos usar como parâmetro para :
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção das retas 4t + 2 = s (1) e 5t = n s + 5 (2) , precisamos que exista um ponto 3t = 2s - 2 (3) que satisfaça as equações de ambas as retas. Isso significa que devemos igualar as expressões paramétricas de s = 4t + 2 (1a) e 3t = 2(4t + 2) - 2 :
3t = 8t + 4 - 2
3t = 8t + 2
3t - 8t = 2
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de -5t = 2 Rightarrow t = -25 , s = 4(-25) + 2 = -85 + 2 = 25 e 5(-25) = n (25) + 5 .
Primeiro, da equação (1):
-2 = 2n5 + 5
Substituindo -2 - 5 = 2n5 na equação (3):
-7 = 2n5
n = -7 times 52 = -352
Agora, substituindo na equação (1a):
Agora, vamos substituir na equação (2):

Resposta

O valor de que faz as retas e se interceptarem é .

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