Seja
a transformação linear dada por
. Determine a matriz de
em relação às bases canônicas de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo qual é a questão. Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação
em relação às bases canônicas de
e
.
Aqui,
representa o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2 (já que temos três coeficientes: constante,
e
). As bases canônicas são as bases padrão desses espaços, que são essenciais para facilitar os cálculos posteriores.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Transformações Lineares: Como elas funcionam e como representá-las em matrizes.
- Integração de Polinômios: Como integrar um polinômio no intervalo de 0 a 1.
- Bases Canônicas: Saber quais são as bases padrão para
e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais respeita duas propriedades básicas:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação pode ser representada por uma matriz, facilitando os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos identificar as bases canônicas dos espaços envolvidos:
- Para
, que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, a base canônica é . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como , onde são coeficientes reais. - Para
, a base canônica é , onde cada é um vetor com 1 na posição e 0 nas demais.
Passo 4
Vamos agora expressar a transformação
em termos de seus coeficientes. Dado um polinômio
, temos:
Vamos calcular essa integral:
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz de
em relação às bases canônicas, precisamos determinar como
atua em cada um dos vetores da base de
.
Os vetores da base canônica de
são:
-
(onde , , ) -
(onde , , ) -
(onde , , )
Vamos aplicar
em cada um desses polinômios:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
A matriz de uma transformação linear é construída colocando os resultados de
aplicados aos vetores da base de
como colunas. Como
mapeia para
, que é um espaço de dimensão 1, a matriz será uma matriz
.
Assim, a matriz de
em relação às bases canônicas é:
Resposta
A matriz da transformação
em relação às bases canônicas de
e
é:
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Sabendo que
, calcular:
Seja
uma transformação linear. Mostre que:
não pode ser sobrejetora.
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)