Seja a transformação linear dada por . Determine a matriz de em relação às bases canônicas de e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo qual é a questão. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de e .
Aqui, representa o espaço vetorial dos polinômios de grau no máximo 2 (já que temos três coeficientes: constante, e ). As bases canônicas são as bases padrão desses espaços, que são essenciais para facilitar os cálculos posteriores.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Transformações Lineares: Como elas funcionam e como representá-las em matrizes.
  2. Integração de Polinômios: Como integrar um polinômio no intervalo de 0 a 1.
  3. Bases Canônicas: Saber quais são as bases padrão para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais respeita duas propriedades básicas:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação pode ser representada por uma matriz, facilitando os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos identificar as bases canônicas dos espaços envolvidos:
  • Para , que é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, a base canônica é . Isso significa que qualquer polinômio em pode ser escrito como , onde são coeficientes reais.
  • Para , a base canônica é , onde cada é um vetor com 1 na posição e 0 nas demais.

Passo 4

Vamos agora expressar a transformação em termos de seus coeficientes. Dado um polinômio , temos:
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de em relação às bases canônicas, precisamos determinar como atua em cada um dos vetores da base de .
Os vetores da base canônica de são:
  1. (onde , , )
  2. (onde , , )
  3. (onde , , )
Vamos aplicar em cada um desses polinômios:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

A matriz de uma transformação linear é construída colocando os resultados de aplicados aos vetores da base de como colunas. Como mapeia para , que é um espaço de dimensão 1, a matriz será uma matriz .
Assim, a matriz de em relação às bases canônicas é:

Resposta

A matriz da transformação em relação às bases canônicas de e é:

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