Racionalize o denominador de cada fração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a fração
. A gente precisa “racionalizar o denominador”, que é um jeito chique de dizer que queremos tirar as raízes (como
e
) do denominador. Para isso, vamos usar umas técnicas de álgebra e multiplicar o numerador e o denominador por expressões que ajudem a eliminar essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão do denominador. A ideia é separar os termos com raízes para facilitar. Vamos reescrever o denominador assim:
Passo 3
Agora, para eliminar as raízes, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela “conjugada” do denominador. A conjugada aqui é
. Isso porque, ao multiplicarmos por essa conjugada, as raízes vão se cancelar graças à diferença de quadrados.
Então, multiplicamos:
Passo 4
Vamos agora resolver o denominador. Usamos a fórmula de diferença de quadrados:
Aqui,
e
.
Então:
Passo 5
Agora, nossa fração ficou:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
para deixar o denominador positivo:
Passo 6
Ainda queremos eliminar a raiz do denominador. Vamos notar que
pode ser fatorado como
. Então, nossa fração fica:
Agora, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada de
, que é
:
Passo 7
Resolvendo o denominador usando a diferença de quadrados:
Então, a fração fica:
Passo 8
Agora, expandimos o numerador:
Simplificando as raízes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 9
Então, nossa fração agora é:
Podemos simplificar dividindo cada termo por 2:
Mas para ficar mais limpo, podemos deixar assim mesmo.
Resposta
A fração racionalizada é:
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