Racionalize o denominador de cada fração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a fração . A gente precisa “racionalizar o denominador”, que é um jeito chique de dizer que queremos tirar as raízes (como e ) do denominador. Para isso, vamos usar umas técnicas de álgebra e multiplicar o numerador e o denominador por expressões que ajudem a eliminar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão do denominador. A ideia é separar os termos com raízes para facilitar. Vamos reescrever o denominador assim:

Passo 3

Agora, para eliminar as raízes, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela “conjugada” do denominador. A conjugada aqui é . Isso porque, ao multiplicarmos por essa conjugada, as raízes vão se cancelar graças à diferença de quadrados.
Então, multiplicamos:

Passo 4

Vamos agora resolver o denominador. Usamos a fórmula de diferença de quadrados:
Aqui, e .
Então:

Passo 5

Agora, nossa fração ficou:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por para deixar o denominador positivo:

Passo 6

Ainda queremos eliminar a raiz do denominador. Vamos notar que pode ser fatorado como . Então, nossa fração fica:
Agora, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada de , que é :

Passo 7

Resolvendo o denominador usando a diferença de quadrados:
Então, a fração fica:

Passo 8

Agora, expandimos o numerador:
Simplificando as raízes:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 9

Então, nossa fração agora é:
Podemos simplificar dividindo cada termo por 2:
Mas para ficar mais limpo, podemos deixar assim mesmo.

Resposta

A fração racionalizada é:

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