Racionalize o denominador de cada fração:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a fração e precisamos racionalizar o denominador. Isso significa que queremos eliminar as raízes do denominador para deixar ele como um número racional. Para isso, vamos usar a técnica de multiplicar o numerador e o denominador por um “conjugado” adequado que ajude a eliminar as raízes.

Passo 2

Primeiro, identificamos o denominador: . Para racionalizar, precisamos encontrar uma expressão que, quando multiplicada por esse denominador, elimine as raízes. Uma boa estratégia é agrupar termos semelhantes para facilitar a multiplicação. Vamos reescrever o denominador como .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada de , que é . Isso ajuda a eliminar as raízes no denominador através da diferença de quadrados.
Então, multiplicamos:

Passo 4

Vamos multiplicar os denominadores usando a fórmula :
Calculando cada parte:
E
Então, o denominador fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador:
Então, a fração fica:

Passo 6

Ainda temos uma raiz no denominador: . Para racionalizar novamente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de , que é :

Passo 7

Multiplicando os denominadores:
E o numerador:
Calculando cada termo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, colocamos tudo junto:

Resposta

A fração racionalizada é:

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