Racionalize o denominador de cada fração:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a fração e precisamos racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador para deixar a expressão mais simples e fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para racionalizar o denominador quando ele tem mais de uma raiz, usamos o método de multiplicação pelo conjugado. O conjugado de uma expressão como é , e vice-versa. Mas aqui, temos três termos no denominador, o que complica um pouco as coisas.

Passo 3

Vamos considerar o denominador . Podemos reescrever isso como . Agora, identificamos que o conjugado dessa expressão será . Isso nos ajudará a eliminar as raízes quando multiplicarmos.

Passo 4

Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada que encontramos:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos resolver o denominador usando a fórmula :
Calculando cada parte:

Passo 6

Agora, temos:
Podemos simplificar o denominador fatorando 2:
E cancelar o fator comum :

Resposta

A fração racionalizada é .

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Calcule a derivada da seguinte função: