Racionalize o denominador (4 * x * y^2) / raiz(3)(2 * x * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de racionalização do denominador. O problema é simplificar a expressão (4 * x * y^2) / raiz(3)(2 * x * y^2). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra envolvendo radicais e racionalização de denominadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa racionalizar o denominador. Racionalizar significa eliminar os radicais (como raízes) do denominador para deixar a expressão mais simples e fácil de trabalhar.

Passo 3

A nossa expressão tem uma raiz cúbica no denominador: . Para eliminar essa raiz, precisamos transformar o denominador em um número sem radical. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por , que é o que falta para completar o cubo perfeito.

Passo 4

Calculando , temos:
Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 5

Multiplicando os numeradores e denominadores:
No denominador, usamos a propriedade dos radicais de que :

Passo 6

Agora, simplificamos . Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Voltando à expressão original:

Resposta

A expressão racionalizada fica .

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