Racionalize a expressão
1 / ((1 + raiz(2^(1/64))) * (1 + raiz(2^(1/32))) * (1 + raiz(2^(1/16))) * (1 + raiz(2^(1/8))) * (1 + raiz(2^(1/4))) * (1 + raiz(2)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para racionalizar a expressão:
1 / ((1 + raiz(2^(1/64))) * (1 + raiz(2^(1/32))) * (1 + raiz(2^(1/16))) * (1 + raiz(2^(1/8))) * (1 + raiz(2^(1/4))) * (1 + raiz(2)))
Aqui, estamos lidando com frações que têm radicais no denominador, especificamente raízes de potências de 2. Para resolver isso, vamos usar o método de racionalização, que envolve eliminar os radicais do denominador multiplicando por expressões apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação das raízes para facilitar nossos cálculos. Sabemos que pode ser escrita como . Então, reescrevendo os termos do denominador:

Passo 3

Observamos que os expoentes das potências de 2 são decrescentes por potências de 2: . Isso sugere que podemos usar uma técnica que envolve multiplicar esses termos de maneira que simplifique o denominador.

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador da nossa fração original por . Essa é uma estratégia comum para aplicar a diferença de quadrados, que nos ajuda a eliminar as raízes no denominador.
Então, temos:

Passo 5

No denominador, aplicamos a identidade . Assim:
Agora, nossa expressão fica:

Passo 6

Repetimos o mesmo processo: multiplicar numerador e denominador por para eliminar a próxima raiz no denominador.
Aplicando a identidade novamente:

Passo 7

Continuamos esse processo para cada termo no denominador. Multiplicando por :
E assim por diante, eliminando cada raiz do denominador sequencialmente.

Passo 8

Após aplicar esse método recursivamente para todos os termos, o denominador acabará se tornando , já que cada par de termos simplifica para . No final, teremos:

Resposta

Após racionalizar, a expressão simplificada é:

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