Racionalize a expressão
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para racionalizar a expressão:
Aqui, estamos lidando com frações que têm radicais no denominador, especificamente raízes de potências de 2. Para resolver isso, vamos usar o método de racionalização, que envolve eliminar os radicais do denominador multiplicando por expressões apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação das raízes para facilitar nossos cálculos. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, reescrevendo os termos do denominador:
Passo 3
Observamos que os expoentes das potências de 2 são decrescentes por potências de 2:
. Isso sugere que podemos usar uma técnica que envolve multiplicar esses termos de maneira que simplifique o denominador.
Passo 4
Vamos multiplicar o numerador e o denominador da nossa fração original por
. Essa é uma estratégia comum para aplicar a diferença de quadrados, que nos ajuda a eliminar as raízes no denominador.
Então, temos:
Passo 5
No denominador, aplicamos a identidade
. Assim:
Agora, nossa expressão fica:
Passo 6
Repetimos o mesmo processo: multiplicar numerador e denominador por
para eliminar a próxima raiz no denominador.
Aplicando a identidade novamente:
Passo 7
Continuamos esse processo para cada termo no denominador. Multiplicando por
:
E assim por diante, eliminando cada raiz do denominador sequencialmente.
Passo 8
Após aplicar esse método recursivamente para todos os termos, o denominador acabará se tornando
, já que cada par de termos
simplifica para
. No final, teremos:
Resposta
Após racionalizar, a expressão simplificada é:
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Encontre o valor de
.
Encontre a derivada da função dada.
(b)
(b)
Encontre a derivada indicada.
(e)
(e)
Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
(f)
(f)