Como já vimos o crescimento de uma determinada população é dada pela função exponencial P = P0 * e^(k * t). Se uma população de bactérias é dada pela fórmula P = P0 * e^(0,02 t), onde t é medido em dias, após quantos dias a população será o triplo da população inicial?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de crescimento populacional usando uma função exponencial. Precisamos descobrir após quantos dias a população de bactérias vai triplicar em relação à população inicial. Para isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
  • é a população final que queremos encontrar.
  • é a população inicial.
  • é a taxa de crescimento.
  • é o tempo em dias.
No nosso caso, a função é:

Passo 3

Queremos que a população final seja o triplo da população inicial . Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por para facilitar:

Passo 5

Para resolver para , precisamos “desfazer” a exponenciação. A maneira de fazer isso é usando o logaritmo natural (ln). Aplicando o ln em ambos os lados:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 0,02:

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico. Sabemos que é aproximadamente 1,0986. Então:

Resposta

Após aproximadamente 54,93 dias, a população de bactérias será o triplo da população inicial.

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