Como já vimos o crescimento de uma determinada população é dada pela função exponencial
. Se uma população de bactérias é dada pela fórmula
, onde t é medido em dias, após quantos dias a população será o triplo da população inicial?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de crescimento populacional usando uma função exponencial. Precisamos descobrir após quantos dias a população de bactérias vai triplicar em relação à população inicial. Para isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
-
é a população final que queremos encontrar. -
é a população inicial. -
é a taxa de crescimento. -
é o tempo em dias.
No nosso caso, a função é:
Passo 3
Queremos que a população final
seja o triplo da população inicial
. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por
para facilitar:
Passo 5
Para resolver para
, precisamos “desfazer” a exponenciação. A maneira de fazer isso é usando o logaritmo natural (ln). Aplicando o ln em ambos os lados:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por 0,02:
Passo 7
Vamos calcular o valor numérico. Sabemos que
é aproximadamente 1,0986. Então:
Resposta
Após aproximadamente 54,93 dias, a população de bactérias será o triplo da população inicial.