Seja
. Deduza que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício fala sobre a sequência
. Nosso objetivo é mostrar que
. Para resolver isso, precisamos entender um pouquinho sobre sequências e desigualdades envolvendo potências. Vamos usar propriedades de potências e manipulações algébricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa
. A sequência
é conhecida por se aproximar do número de Euler,
, quando
cresce. Isso significa que para valores grandes de
,
fica bem próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão que queremos comparar:
e
. Nosso objetivo é provar que a primeira expressão é menor que a segunda. Para isso, vamos manipular a inequação para facilitar a comparação.
Passo 4
Vamos começar dividindo ambos os lados da inequação por
(assumindo que
é positivo para manter a direção da desigualdade). Assim, temos:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a expressão para isolar termos semelhantes. Podemos reescrever a inequação como:
Isso porque
.
Passo 6
Observando a expressão
, vemos que ela cresce exponencialmente se
. Como
se aproxima de
, assumimos que
para que a inequação faça sentido na direção que queremos provar.
Passo 7
Finalmente, combinando tudo, concluímos que:
Isso valida a desigualdade proposta no exercício.
Resposta
Concluímos que
é verdadeira para a sequência dada.
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enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de
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Seja
. Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que
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.