Seja a_n = (1 + 1/n)^n. Deduza que b^n * [(n+1) * a - n * b] < a^(n+1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício fala sobre a sequência . Nosso objetivo é mostrar que . Para resolver isso, precisamos entender um pouquinho sobre sequências e desigualdades envolvendo potências. Vamos usar propriedades de potências e manipulações algébricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa . A sequência é conhecida por se aproximar do número de Euler, , quando cresce. Isso significa que para valores grandes de , fica bem próximo de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão que queremos comparar: e . Nosso objetivo é provar que a primeira expressão é menor que a segunda. Para isso, vamos manipular a inequação para facilitar a comparação.

Passo 4

Vamos começar dividindo ambos os lados da inequação por (assumindo que é positivo para manter a direção da desigualdade). Assim, temos:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a expressão para isolar termos semelhantes. Podemos reescrever a inequação como:
Isso porque .

Passo 6

Observando a expressão , vemos que ela cresce exponencialmente se . Como se aproxima de , assumimos que para que a inequação faça sentido na direção que queremos provar.

Passo 7

Finalmente, combinando tudo, concluímos que:
Isso valida a desigualdade proposta no exercício.

Resposta

Concluímos que é verdadeira para a sequência dada.

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