Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
w=cos (x-y), x=r s^2 t^3 sen theta, y=r^2 s t cos theta, partial wpartial r, partial wpartial s, partial wpartial t, partial wpartial theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde e são funções de outras variáveis: , , e . O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar lembrar como a regra funciona quando variáveis dependem umas das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões para x = r s^2 t^3 sin theta e y = r^2 s t cos theta :
partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r
Agora, nossa função depende de e , que por sua vez dependem de , , e . Para encontrar, por exemplo, , usamos a Regra da Cadeia:
Vamos aplicar isso para cada uma das variáveis.

Passo 3

Vamos calcular partial wpartial x = -sin(x - y) e partial wpartial y = sin(x - y) :
Isso porque a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial r = s^2 t^3 sin theta e partial ypartial r = 2r s t cos theta em relação a cada variável.
Para partial xpartial s = 2r s t^3 sin theta :
partial ypartial s = r^2 t cos theta
partial xpartial t = 3r s^2 t^2 sin theta
Para partial ypartial t = r^2 s cos theta :
partial xpartial theta = r s^2 t^3 cos theta
partial ypartial theta = -r^2 s t sin theta
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para cada derivada parcial.
Para partial wpartial r = -sin(x - y) cdot s^2 t^3 sin theta + sin(x - y) cdot 2r s t cos theta :
= sin(x - y) ( 2r s t cos theta - s^2 t^3 sin theta )
partial wpartial s = -sin(x - y) cdot 2r s t^3 sin theta + sin(x - y) cdot r^2 t cos theta
Para = sin(x - y) ( r^2 t cos theta - 2r s t^3 sin theta ) :
partial wpartial t = -sin(x - y) cdot 3r s^2 t^2 sin theta + sin(x - y) cdot r^2 s cos theta
= sin(x - y) ( r^2 s cos theta - 3r s^2 t^2 sin theta )
Para partial wpartial theta = -sin(x - y) cdot r s^2 t^3 cos theta + sin(x - y) cdot (-r^2 s t sin theta) :
= sin(x - y) ( -r s^2 t^3 cos theta - r^2 s t sin theta )
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial r = sin(x - y) ( 2r s t cos theta - s^2 t^3 sin theta )
partial wpartial s = sin(x - y) ( r^2 t cos theta - 2r s t^3 sin theta )
partial wpartial t = sin(x - y) ( r^2 s cos theta - 3r s^2 t^2 sin theta )
partial wpartial theta = sin(x - y) ( -r s^2 t^3 cos theta - r^2 s t sin theta )

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