Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
e
são funções de outras variáveis:
,
,
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma dessas variáveis usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar lembrar como a regra funciona quando variáveis dependem umas das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões para
e
:
Agora, nossa função
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
,
e
. Para encontrar, por exemplo,
, usamos a Regra da Cadeia:
Vamos aplicar isso para cada uma das variáveis.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a cada variável.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo para cada derivada parcial.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja
. Deduza que
.
O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de
enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?
Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Seja
. Use
e
na parte (b) para mostrar que
.