O raio da órbita da Terra é 1,49 × 10¹¹ m e o da órbita de Urano é 2,87 × 10¹² m. Determine o período de Urano. (dado: período da Terra = 1 ano terrestre)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o período de Urano sabendo a distância dele do Sol e a distância da Terra do Sol, além do período da Terra. O conteúdo envolvido aqui é a Lei de Kepler das Órbitas, que relaciona o período orbital de um planeta com a distância média ao Sol. Para resolver, vamos usar essa lei e fazer algumas contas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital de um planeta (T) é proporcional ao cubo do raio da sua órbita ®. Em fórmula, isso fica assim:
Isso significa que:
Passo 3
Vamos atribuir os valores que a gente tem:
- Para a Terra: $ T_1 = 1 $ ano terrestre e $ r_1 = 1,49 \times 10^{11} $ metros.
- Para Urano: $ r_2 = 2,87 \times 10^{12} $ metros e queremos encontrar $ T_2 $.
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ T_2 $:
Isso quer dizer que o período de Urano é igual ao período da Terra multiplicado pela razão dos raios das órbitas elevados a 3/2.
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão $ \frac{r_2}{r_1} $:
Passo 6
Em seguida, elevamos essa razão a 3/2:
Passo 7
Por fim, multiplicamos pelo período da Terra para encontrar o período de Urano:
Resposta
O período de Urano é aproximadamente 84,5 anos terrestres.