O raio da órbita da Terra é 1,49 × 10¹¹ m e o da órbita de Urano é 2,87 × 10¹² m. Determine o período de Urano. (dado: período da Terra = 1 ano terrestre)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o período de Urano sabendo a distância dele do Sol e a distância da Terra do Sol, além do período da Terra. O conteúdo envolvido aqui é a Lei de Kepler das Órbitas, que relaciona o período orbital de um planeta com a distância média ao Sol. Para resolver, vamos usar essa lei e fazer algumas contas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital de um planeta (T) é proporcional ao cubo do raio da sua órbita ®. Em fórmula, isso fica assim:
T^2 propto r^3
Isso significa que:
T1^2r1^3 = T2^2r2^3

Passo 3

Vamos atribuir os valores que a gente tem:
  • Para a Terra: $ T_1 = 1 $ ano terrestre e $ r_1 = 1,49 \times 10^{11} $ metros.
  • Para Urano: $ r_2 = 2,87 \times 10^{12} $ metros e queremos encontrar $ T_2 $.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar $ T_2 $:
T2
Isso quer dizer que o período de Urano é igual ao período da Terra multiplicado pela razão dos raios das órbitas elevados a 3/2.

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão $ \frac{r_2}{r_1} $:
r2r1

Passo 6

Em seguida, elevamos essa razão a 3/2:
(19,27)^32 = raiz19,27^3 approx (4,39)^3 approx 84,5

Passo 7

Por fim, multiplicamos pelo período da Terra para encontrar o período de Urano:
T2 = 1 ano times 84,5 approx 84,5 anos terrestres

Resposta

O período de Urano é aproximadamente 84,5 anos terrestres.

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