l) f(x)=(raiz[3]x+6 x^3)(3 x^4+6) R: f^prime(x)=12 x^3(raiz[3]x+6 x^3)+(13 raiz[3]x^2+18 x^2)(3 x^4+6)

Passo 1

Então, parceiro, a gente tem que derivar a função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a regra do produto, porque estamos lidando com o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e como derivar potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão se multiplicando. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , então a derivada é:
Vamos precisar derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar u(x) = raiz[3]x + 6x^3 :
u'(x) = 13x^-2/3 + 18x^2
Lembrando que u'(x) = 13raiz[3]x^2 + 18x^2 , a derivada de é . Então:
Ou, de forma equivalente:

Passo 5

Agora, vamos derivar v(x) = 3x^4 + 6 :
v'(x) = 12x^3
A derivada de uma constante é zero, e usando a regra da potência:

Passo 6

Agora que temos f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) e f'(x) = (13raiz[3]x^2 + 18x^2)(3x^4 + 6) + (raiz[3]x + 6x^3)(12x^3) , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo as derivadas e as funções:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(x) = 12x^3(raiz[3]x + 6x^3) + (13raiz[3]x^2 + 18x^2)(3x^4 + 6)

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