Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para verificar que a derivada de
é igual a
. Isso significa que vamos calcular a derivada dessa função usando as regras de derivação que conhecemos. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Essa regra nos diz que, se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, a derivada dessa função é:
Então, vamos identificar
e
na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
. Então:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
Assim, verificamos que:
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Verifique que
Verifique que
para todo
real.
Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde
é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de
(isto é,
).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,
Vários fenômenos que envolvem a interação da matéria com a radiação eletromagnética(luz) podem ser explicados pensando que os átomos em uma molécula não estão estáticos, mas realizam um movimento periódico, sem alterar o centro de massa da molécula, que envolve dilatações e rotações das ligações atômicas entre um ou mais átomos, este movimento é chamado de vibração molecular. A ideia central é que uma molécula só pode vibrar de algumas formas específicas que dependem de sua geometria. A energia de uma molécula quando seus átomos vibram é acrescida da energia cinética desse movimento mas, como a molécula só pode vibrar em modos de vibração específicos, ela não consegue acomodar qualquer acréscimo de energia advindo da absorção de radiação eletromagnética. Por isso (e também vários outros fenômenos omitidos para fim de simplificação), diferentes materiais absorvem luz em diferentes frequências (a luz é absorvida pela matéria em pacotes de energia proporcionais à frequência da luz, chamados fótons).
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa em uma molécula se desloca ao longo de um eixo de acordo com a função:
Digamos que em um desses movimentos de vibração molecular um átomo de massa
onde
é a posição do átomo ao longo do eixo, em relação à sua posição de repouso, no instante
é uma constante que chamamos de amplitude do movimento,
é uma constante chamada de frequência do movimento e
é também uma constante, chamada fase inicial do movimento.
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
Sabendo, então, que a energia cinética de um objeto é dada por
onde
é a massa do objeto e
é sua velocidade, determine, em termos de
(massa do átomo),
e
, a energia cinética,
, desse átomo no instante
e seu valor máximo ao longo do movimento.