Verifique que ( sen(x) e^(-x) )' = (cos(x) - sen(x)) e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para verificar que a derivada de é igual a . Isso significa que vamos calcular a derivada dessa função usando as regras de derivação que conhecemos. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Essa regra nos diz que, se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é:
Então, vamos identificar e na nossa função:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

Assim, verificamos que:

Exercícios relacionados