Verifique que integral x^2 e^3 x d x=(13 x^2-29 x+227) e^3 x+C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar a integral de em relação a e confirmar se ela é igual a . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à integral u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx .
Escolhemos:
dv = e^3x , dx Rightarrow v = 13 e^3x
Aqui, derivamos para obter e integramos para obter .

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^3x , dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^2 cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 2x , dx
= 13 x^2 e^3x - 23 integral x e^3x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver, que também precisa de integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para u = x Rightarrow du = dx .
Escolhemos:
dv = e^3x , dx Rightarrow v = 13 e^3x

Passo 6

Substituindo na fórmula:
integral x e^3x , dx = u cdot v - integral v cdot du
= x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 1 , dx
= 13 x e^3x - 13 integral e^3x , dx
= 13 x e^3x - 19 e^3x + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 e^3x , dx = 13 x^2 e^3x - 23 ( 13 x e^3x - 19 e^3x ) + C
Distribuindo o = 13 x^2 e^3x - 29 x e^3x + 227 e^3x + C :

Resposta

Portanto, a integral de integral x^2 e^3x , dx = ( 13 x^2 - 29 x + 227 ) e^3x + C é:

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