Verifique que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar a integral de
em relação a
e confirmar se ela é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada, e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes à integral
.
Escolhemos:
Aqui, derivamos
para obter
e integramos
para obter
.
Passo 4
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
para resolver, que também precisa de integração por partes.
Passo 5
Vamos aplicar novamente a integração por partes para
.
Escolhemos:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o
:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
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Verifique que
para todo
real.
Verifique que
Verifique que
Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde
é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de
(isto é,
).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação,