Verifique que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar a integral de em relação a e confirmar se ela é igual a . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à integral .
Escolhemos:
Aqui, derivamos para obter e integramos para obter .

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver, que também precisa de integração por partes.

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para .
Escolhemos:

Passo 6

Substituindo na fórmula:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o :

Resposta

Portanto, a integral de é:

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Verifique que para todo real.
Verifique que
Verifique que
Em uma reação química a velocidade de consumo de um reagente (em gramas por litro por segundo) é dada pela função
onde é a variável do tempo (medido em segundos).
Obtenha a concentração desse reagente (em gramas por litro) em função do tempo ao longo da reação, , sabendo que a concentração inicial é de (isto é, ).