Um recipiente de água deixado ao ar livre no inverno, forma uma capa de gelo de 5 cm de espessura sobre a superfície da água. O ar acima do gelo está a temperatura de
. Calcule a taxa de formação de gelo (em cm/hora) sob a superfície inferior da camada de gelo. Suponha que nenhum calor saia da água através das paredes laterais do recipiente.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um recipiente com água que formou uma camada de gelo de 5 cm de espessura. O ar acima desse gelo está a -10°C. Queremos descobrir quão rápido o gelo está se formando, ou seja, qual é a taxa de formação de gelo em centímetros por hora. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e a calor latente de fusão da água.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo. O gelo está se formando porque o calor da água está sendo transferido para o ar frio. Esse processo de transferência de calor ocorre pela condução térmica através da camada de gelo. A taxa de formação de gelo depende de quanta energia está saindo da água para o ar.
Passo 3
Vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de transferência de calor (
) por condução é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material (no caso, gelo). -
é a área de transferência de calor. -
é a diferença de temperatura entre as duas camadas. -
é a espessura da camada de gelo.
Passo 4
Sabemos que o gelo está formando a partir da água, então o calor que está sendo removido da água está se convertendo o gelo. A calor latente de fusão (
) da água é a quantidade de calor necessária para transformar água líquida em gelo sem mudar a temperatura.
A quantidade de calor removido da água para formar gelo por unidade de tempo é também dada por:
Onde:
-
é a massa de gelo formada por unidade de tempo. -
é a calor latente de fusão da água.
Passo 5
Queremos descobrir a taxa de formação de gelo em centímetros por hora. Vamos relacionar a massa de gelo formada com o volume e, consequentemente, com a espessura do gelo.
Sabemos que:
Onde:
-
é a densidade do gelo. -
é o volume de gelo formado.
Como estamos lidando com uma área constante
e uma espessura
que está aumentando com o tempo, temos:
Então:
Passo 6
Agora, igualamos as duas expressões para
:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 7
Queremos encontrar
, que é a taxa de formação de gelo. Rearranjando a equação:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
-
(condutividade térmica do gelo) ≈ 2.2 W/(m·°C) -
°C (diferença entre 0°C da água e -10°C do ar) -
(densidade do gelo) ≈ 917 kg/m³ -
(calor latente de fusão da água) ≈ 334,000 J/kg -
= 0.05 m (5 cm convertidos para metros)
Substituindo na equação:
Passo 9
Vamos calcular o valor:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 10
Queremos a taxa em centímetros por hora. Vamos converter:
Primeiro, de metros por segundo para metros por hora:
Agora, convertendo para centímetros:
Resposta
A taxa de formação de gelo sob a superfície inferior da camada de gelo é aproximadamente 0,517 cm/hora.