Um recipiente de água deixado ao ar livre no inverno, forma uma capa de gelo de 5 cm de espessura sobre a superfície da água. O ar acima do gelo está a temperatura de -10^circ C. Calcule a taxa de formação de gelo (em cm/hora) sob a superfície inferior da camada de gelo. Suponha que nenhum calor saia da água através das paredes laterais do recipiente.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um recipiente com água que formou uma camada de gelo de 5 cm de espessura. O ar acima desse gelo está a -10°C. Queremos descobrir quão rápido o gelo está se formando, ou seja, qual é a taxa de formação de gelo em centímetros por hora. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e a calor latente de fusão da água.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo. O gelo está se formando porque o calor da água está sendo transferido para o ar frio. Esse processo de transferência de calor ocorre pela condução térmica através da camada de gelo. A taxa de formação de gelo depende de quanta energia está saindo da água para o ar.

Passo 3

Vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que a taxa de transferência de calor ( Q = k cdot A cdot De) por condução é dada por:
Onde:
  • é a condutividade térmica do material (no caso, gelo).
  • é a área de transferência de calor.
  • é a diferença de temperatura entre as duas camadas.
  • é a espessura da camada de gelo.

Passo 4

Sabemos que o gelo está formando a partir da água, então o calor que está sendo removido da água está se convertendo o gelo. A calor latente de fusão ( Q = m cdot L ) da água é a quantidade de calor necessária para transformar água líquida em gelo sem mudar a temperatura.
A quantidade de calor removido da água para formar gelo por unidade de tempo é também dada por:
Onde:
  • é a massa de gelo formada por unidade de tempo.
  • é a calor latente de fusão da água.

Passo 5

Queremos descobrir a taxa de formação de gelo em centímetros por hora. Vamos relacionar a massa de gelo formada com o volume e, consequentemente, com a espessura do gelo.
Sabemos que:
m = rho cdot V
Onde:
  • V = A cdot De é a densidade do gelo.
  • m = rho cdot A cdot De é o volume de gelo formado.
Como estamos lidando com uma área constante e uma espessura que está aumentando com o tempo, temos:
Então:

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões para k cdot A cdot De:
k cdot De
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 7

Queremos encontrar d(De, que é a taxa de formação de gelo. Rearranjando a equação:

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • d(De (condutividade térmica do gelo) ≈ 2.2 W/(m·°C)
  • °C (diferença entre 0°C da água e -10°C do ar)
  • (densidade do gelo) ≈ 917 kg/m³
  • (calor latente de fusão da água) ≈ 334,000 J/kg
  • = 0.05 m (5 cm convertidos para metros)
Substituindo na equação:

Passo 9

Vamos calcular o valor:
d(De
Primeiro, calculamos o denominador:
917 times 334000 times 0.05 = 917 times 16700 = 15,311,900
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
2215,311,900 approx 1.436 times 10^-6 , m/s

Passo 10

Queremos a taxa em centímetros por hora. Vamos converter:
Primeiro, de metros por segundo para metros por hora:
1.436 times 10^-6 , m/s times 3600 , s/h = 0.00517 , m/h
Agora, convertendo para centímetros:
0.00517 , m/h times 100 = 0.517 , cm/h

Resposta

A taxa de formação de gelo sob a superfície inferior da camada de gelo é aproximadamente 0,517 cm/hora.

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