Em um recipiente de massa desprezível, gelo (temperatura inicial de
) é adicionado a
de água (temperatura inicial de
) para reduzir a temperatura da água até
. Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, que massa de gelo é necessária para a tarefa se todo o gelo adicionado deve derreter? [Assuma c(agua) =
gelo
, e que o calor latente de fusão da água é
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma situação onde gelo a -15°C é adicionado a água a 30°C. Queremos saber quanto gelo é necessário para esfriar a água até 0°C, assumindo que todo o gelo derrete e não perde calor para o ambiente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de calor específico e calor latente de fusão, que nos ajudam a calcular a troca de calor entre diferentes substâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisa acontecer para atingir o equilíbrio térmico:
- O gelo precisa ser aquecido de -15°C até 0°C.
- Depois, o gelo aquecido a 0°C precisa derreter, transformando-se em água a 0°C.
- Ao mesmo tempo, a água quente (30°C) vai ceder calor para que todo esse processo aconteça e sua temperatura diminua para 0°C.
Passo 3
Vamos calcular a quantidade de calor necessária para cada etapa do gelo:
-
Aquecimento do gelo de -15°C a 0°C:
Usamos a fórmula do calor sensível:Onde:- $ Q_1 $ é o calor necessário,
- $ m_{gelo} $ é a massa do gelo,
- $ c_{gelo} = 2100 , J/(kg·K) $,
- $ \Delta T = 15°C $.
-
Fusão do gelo a 0°C:
Usamos o calor latente de fusão:Onde:- $ Q_2 $ é o calor necessário para derreter o gelo,
- $ L_f = 3,34 \times 10^{5} , J/kg $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o calor que a água quente perde para esfriar de 30°C a 0°C:
Onde:
- $ m_{água} = 0,220 , kg $,
- $ c_{água} = 4190 , J/(kg·K) $,
- $ \Delta T = 30°C $.
Passo 5
O calor que a água perde será igual ao calor que o gelo absorve para aquecer e derreter:
Substituindo as fórmulas:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando o lado esquerdo:
E simplificando o lado direito:
Passo 7
Agora, igualamos os dois lados e resolvemos para $ m_{gelo} $:
Resposta
A massa de gelo necessária para reduzir a temperatura da água até 0°C é aproximadamente 0,076 kg.