Em um recipiente de massa desprezível, gelo (temperatura inicial de -15,0^circ C ) é adicionado a 0,220 kg de água (temperatura inicial de 30,0^circ C ) para reduzir a temperatura da água até 0,0^circ C. Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, que massa de gelo é necessária para a tarefa se todo o gelo adicionado deve derreter? [Assuma c(agua) = 4190 J /(kg cdot K), c( gelo )=2100 J /(kg K), e que o calor latente de fusão da água é 3,34 times 10^5 J / kg].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma situação onde gelo a -15°C é adicionado a água a 30°C. Queremos saber quanto gelo é necessário para esfriar a água até 0°C, assumindo que todo o gelo derrete e não perde calor para o ambiente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de calor específico e calor latente de fusão, que nos ajudam a calcular a troca de calor entre diferentes substâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisa acontecer para atingir o equilíbrio térmico:
  1. O gelo precisa ser aquecido de -15°C até 0°C.
  2. Depois, o gelo aquecido a 0°C precisa derreter, transformando-se em água a 0°C.
  3. Ao mesmo tempo, a água quente (30°C) vai ceder calor para que todo esse processo aconteça e sua temperatura diminua para 0°C.

Passo 3

Vamos calcular a quantidade de calor necessária para cada etapa do gelo:
  • Aquecimento do gelo de -15°C a 0°C:
    Usamos a fórmula do calor sensível:
    Q1 = m>=lo cdot c>=lo cdot De
    Onde:
    • $ Q_1 $ é o calor necessário,
    • $ m_{gelo} $ é a massa do gelo,
    • $ c_{gelo} = 2100 , J/(kg·K) $,
    • $ \Delta T = 15°C $.
  • Fusão do gelo a 0°C:
    Usamos o calor latente de fusão:
    Q1
    Onde:
    • $ Q_2 $ é o calor necessário para derreter o gelo,
    • $ L_f = 3,34 \times 10^{5} , J/kg $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o calor que a água quente perde para esfriar de 30°C a 0°C:
Qágua = mágua cdot cágua cdot Deááá
Onde:
  • $ m_{água} = 0,220 , kg $,
  • $ c_{água} = 4190 , J/(kg·K) $,
  • $ \Delta T = 30°C $.

Passo 5

O calor que a água perde será igual ao calor que o gelo absorve para aquecer e derreter:
Qágua = Q1 + Q2 á
Substituindo as fórmulas:
mágua cdot cágua cdot De=lo cdot c>=lo cdot 15 + m>=lo cdot Lf áá

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
0,220 times 4190 times 30 = m>=lo times 2100 times 15 + m>=lo times 3,34 times 10^5
Calculando o lado esquerdo:
0,220 times 4190 times 30 = 0,220 times 4190 = 921,8 times 30 = 27.654 , J
E simplificando o lado direito:
m>=lo times (2100 times 15 + 3,34 times 10^5) = m>=lo times (31.500 + 334.000) = m>=lo times 365.500

Passo 7

Agora, igualamos os dois lados e resolvemos para $ m_{gelo} $:
m>=lo
27.654 = m>=lo times 365.500

Resposta

A massa de gelo necessária para reduzir a temperatura da água até 0°C é aproximadamente 0,076 kg.

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