Em um recipiente de massa desprezível, gelo (temperatura inicial de -15,0^circ C ) é adicionado a 0,220 kg de água (temperatura inicial de 30,0^circ C ) para reduzir a temperatura da água até 0,0^circ C. Sabendo que não ocorre perda de calor para as vizinhanças, que massa de gelo é necessária para a tarefa se nenhuma fração do gelo adicionado pode derreter? [Assuma c(agua) = 4190 J /(kg cdot K), c( gelo )=2100 J /(kg K), e que o calor latente de fusão da água é 3,34 times 10^5 J / kg].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um problema de troca de calor, onde queremos baixar a temperatura de 0,220 kg de água que está a 30°C até 0°C usando gelo que está a -15°C. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as capacidades caloríficas da água e do gelo, além do calor latente de fusão da água. Vamos usar as fórmulas de calor para calcular a quantidade de calor que a água vai perder e o quanto o gelo precisa ganhar para não derreter.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a água vai perder quando sua temperatura diminui de 30°C para 0°C. A fórmula para isso é:
Qágua = mágua cdot cágua cdot Deááá
Onde:
  • $ m_{água} = 0,220 , kg $
  • $ c_{água} = 4190 , J/(kg \cdot K) $
  • $ \Delta T = 30°C - 0°C = 30 , K $
Calculando:
mágua = 0,220 , kg á
cágua = 4190 , J/(kg cdot K) á
Deá
Então, a água vai perder 27.654 J de energia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia que o gelo precisa absorver para aquecer de -15°C até 0°C sem derreter. A fórmula é similar:
Q>=lo = m>=lo cdot c>=lo cdot De
Onde:
  • $ c_{gelo} = 2100 , J/(kg \cdot K) $
  • $ \Delta T = 0°C - (-15°C) = 15 , K $
Então,
c>=lo = 2100 , J/(kg cdot K)
De

Passo 4

Como não queremos que o gelo derreta, a única energia que ele absorve é para aquecer até 0°C. Essa energia absorvida pelo gelo deve ser igual à energia perdida pela água. Portanto:
Q>=lo = Qágua á
m>=lo cdot 31500 = 27654

Passo 5

Agora, vamos isolar $ m_{gelo} $ para encontrar a massa de gelo necessária:
m>=lo
m>=lo = 2765431500

Resposta

A massa de gelo necessária é aproximadamente 0,877 kg.

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