Um dos recursos usados em computação gráfica para gerar movimentos na imagem da tela do computador está baseado no produto de matrizes. A posição de cada ponto é dada por suas coordenadas
em relação a um sistema cartesiano fixado. Sua nova posição é dada pelas coordenadas
obtidas por
em que
é uma matriz de ordem 2. Geometricamente, o ponto
é a imagem do ponto
por meio de um determinado movimento no plano (reflexão, rotação, homotetia etc.), obtido a partir de
. Diremos que esse movimento é gerado pela matriz
.
(a) Descreva geometricamente os movimentos gerados pelas matrizes
e
, em que
(b) A rotação de ângulo
, em torno da origem, no sentido anti-horário, é o movimento gerado pela matriz
Considerando
e a matriz
do item (a), calcule os produtos
e
. Desenhe (separadamente) a imagem da figura a seguir pelos movimentos gerados, respectivamente, pelas matrizes
e
. Descreva geometricamente esses movimentos.
(a) Descreva geometricamente os movimentos gerados pelas matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como matrizes podem ser usadas para movimentar pontos em um sistema de coordenadas, tipo refletir, girar ou escalar imagens na tela do computador. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e o que cada uma delas faz geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Temos três matrizes
e
e precisamos descrever o que cada uma faz no plano.
Passo 3
Matriz
:
Essa matriz multiplica a coordenada
por
e mantém
igual. Geometricamente, isso reflete qualquer ponto em relação ao eixo
. Ou seja, ele inverte a posição horizontal do ponto.
Matriz
:
Aqui, a matriz troca
por
e vice-versa. Isso equivale a refletir o ponto em relação à reta
.
Matriz
:
Esta matriz mantém
igual e multiplica
por
. Geometricamente, reflete o ponto em relação ao eixo
, invertendo a posição vertical.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular os produtos
e
, onde
é a matriz de rotação de
.
Primeiro, vamos definir
:
Passo 5
Calculando
:
Essa matriz realiza uma rotação de
seguida de uma reflexão em relação ao eixo
.
Passo 6
Calculando
:
Essa matriz primeiro reflete em relação ao eixo
e depois realiza uma rotação de
.
Passo 7
Descrição Geométrica dos Movimentos:
-
Para
: - Primeira aplicação: Roda o ponto
anti-horário. - Segunda aplicação: Reflete o ponto resultante no eixo
. - Resultado: Equivale a uma reflexão diagonal combinada com a rotação.
- Primeira aplicação: Roda o ponto
-
Para
: - Primeira aplicação: Reflete o ponto no eixo
. - Segunda aplicação: Roda o ponto refletido
anti-horário. - Resultado: O movimento final é diferente da primeira ordem; essencialmente, reflete e depois gira.
- Primeira aplicação: Reflete o ponto no eixo
Resposta
(a)
-
reflete pontos em relação ao eixo . -
reflete pontos em relação à reta . -
reflete pontos em relação ao eixo .
(b)
-
realiza uma rotação de seguida de uma reflexão no eixo . -
realiza uma reflexão no eixo seguida de uma rotação de .
Geometricamente, esses movimentos combinados resultam em transformações diferentes dependendo da ordem das operações.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações matriciais:
(a)
(b) ;
(a)
(b)
Sejam
e
vetores do espaço vetorial
.
a) Mostrar que define um produto interno sobre
;
b) Determinar a norma de em relação ao produto interno usual e também em relação ao produto interno definido no item (a).
a) Mostrar que
b) Determinar a norma de
Demonstre cada um dos casos abaixo, usando indução finita
a)
b)
c)
a)
b)
c)