Um dos recursos usados em computação gráfica para gerar movimentos na imagem da tela do computador está baseado no produto de matrizes. A posição de cada ponto é dada por suas coordenadas (x, y) em relação a um sistema cartesiano fixado. Sua nova posição é dada pelas coordenadas (u, v) obtidas por
[l u v ]=A cdot[l x y ]
em que A é uma matriz de ordem 2. Geometricamente, o ponto (u, v) é a imagem do ponto (x, y) por meio de um determinado movimento no plano (reflexão, rotação, homotetia etc.), obtido a partir de A. Diremos que esse movimento é gerado pela matriz A.
(a) Descreva geometricamente os movimentos gerados pelas matrizes A1, A2 e A3, em que
A1=[cc -1 & 0 0 & 1 ], A2=[ll 0 & 1 1 & 0 ] e A3=[cc 1 & 0 0 & -1 ]
(b) A rotação de ângulo theta, em torno da origem, no sentido anti-horário, é o movimento gerado pela matriz
Rtheta=[cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ]
Considerando theta=90^circ e a matriz A3 do item (a), calcule os produtos A3 cdot Rtheta e Rtheta A3. Desenhe (separadamente) a imagem da figura a seguir pelos movimentos gerados, respectivamente, pelas matrizes A3 Rtheta e Rtheta cdot A3. Descreva geometricamente esses movimentos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre como matrizes podem ser usadas para movimentar pontos em um sistema de coordenadas, tipo refletir, girar ou escalar imagens na tela do computador. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e o que cada uma delas faz geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Temos três matrizes e e precisamos descrever o que cada uma faz no plano.

Passo 3

Matriz A1 = -1 & 0 0 & 1 :
A2 = 0 & 1 1 & 0
Essa matriz multiplica a coordenada A3 = 1 & 0 0 & -1 por e mantém igual. Geometricamente, isso reflete qualquer ponto em relação ao eixo . Ou seja, ele inverte a posição horizontal do ponto.
Matriz :
Aqui, a matriz troca por e vice-versa. Isso equivale a refletir o ponto em relação à reta .
Matriz :
Esta matriz mantém igual e multiplica por . Geometricamente, reflete o ponto em relação ao eixo , invertendo a posição vertical.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos calcular os produtos R90^circ = cos 90^circ & -sen 90^circ sen 90^circ & cos 90^circ = 0 & -1 1 & 0 e , onde é a matriz de rotação de .
Primeiro, vamos definir :

Passo 5

Calculando A3 cdot R90^circ = 1 & 0 0 & -1 cdot 0 & -1 1 & 0 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(1) & (0)(-1) + (-1)(0) = 0 & -1 -1 & 0 :
Essa matriz realiza uma rotação de seguida de uma reflexão em relação ao eixo .

Passo 6

Calculando R90^circ cdot A3 = 0 & -1 1 & 0 cdot 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (-1)(0) & (0)(0) + (-1)(-1) (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(-1) = 0 & 1 1 & 0 :
Essa matriz primeiro reflete em relação ao eixo e depois realiza uma rotação de .

Passo 7

Descrição Geométrica dos Movimentos:
  • Para :
    • Primeira aplicação: Roda o ponto anti-horário.
    • Segunda aplicação: Reflete o ponto resultante no eixo .
    • Resultado: Equivale a uma reflexão diagonal combinada com a rotação.
  • Para :
    • Primeira aplicação: Reflete o ponto no eixo .
    • Segunda aplicação: Roda o ponto refletido anti-horário.
    • Resultado: O movimento final é diferente da primeira ordem; essencialmente, reflete e depois gira.

Resposta

(a)
  • reflete pontos em relação ao eixo .
  • reflete pontos em relação à reta .
  • reflete pontos em relação ao eixo .
(b)
  • realiza uma rotação de seguida de uma reflexão no eixo .
  • realiza uma reflexão no eixo seguida de uma rotação de .
Geometricamente, esses movimentos combinados resultam em transformações diferentes dependendo da ordem das operações.

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