Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores do espaço vetorial R^2.
a) Mostrar que =x1 y1-2 x1 y2-2 x2 y1+5 x2 y2 define um produto interno sobre R^2;
b) Determinar a norma de u=(1,2) em relação ao produto interno usual e também em relação ao produto interno definido no item (a).

Passo 1

Vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre produtos internos e normas no espaço vetorial . Na parte a), a gente precisa mostrar que uma determinada expressão define um produto interno. Na parte b), vamos calcular a norma de um vetor específico usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular normas a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): mostrar que
lang<= u, v rang<= = x1 y1 - 2 x1 y2 - 2 x2 y1 + 5 x2 y2
define um produto interno em .
Um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade em cada componente.
  3. Positividade:
  4. Definitude: se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a expressão dada.

Passo 3

1. Comutatividade:
Vamos trocar lang<= v, u rang<= = y1 x1 - 2 y1 x2 - 2 y2 x1 + 5 y2 x2 e x1 y1 = y1 x1, -2 x1 y2 = -2 y2 x1, -2 x2 y1 = -2 y1 x2, 5 x2 y2 = 5 y2 x2 :
lang<= au + bw, v rang<= = alang<= u, v rang<= + blang<= w, v rang<=
Observando os termos, vemos que:
lang<= u, u rang<= = x1^2 - 2 x1 x2 - 2 x2 x1 + 5 x2^2 = x1^2 - 4 x1 x2 + 5 x2^2
Portanto, A = 1 & -2 -2 & 5 , cumprindo a comutatividade.
2. Linearidade:
Vamos verificar se o produto é linear em :
Isso pode ser facilmente verificado expandindo as expressões. Portanto, a linearidade está satisfeita.
3. Positividade:
Calculamos :
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero.
4. Definitude:
Precisamos garantir que somente quando . Vamos analizar:
A forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica:
Para que a forma quadrática seja positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos, o que é verdade para essa matriz. Portanto, as propriedades de positivdade e definitude estão satisfeitas.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): determinar a norma do vetor lang<= u, u rang<=usual = x1^2 + x2^2 usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a).
Primeiro, o produto interno usual em |u|usual = raizx1^2 + x2^2 é dado por:
|u|usual = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5
A norma é a raiz quadrada disso:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de lang<= u, u rang<= = 1^2 - 4 cdot 1 cdot 2 + 5 cdot 2^2 = 1 - 8 + 20 = 13 usando o produto interno definido na parte a):
|u| = raiz13
Então, a norma é:

Resposta

a) Sim, a expressão define um produto interno em .
b) A norma de é:
  • Usando o produto interno usual:
  • Usando o produto interno definido no item a):

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