Sejam
e
vetores do espaço vetorial
.
a) Mostrar que
define um produto interno sobre
;
b) Determinar a norma de
em relação ao produto interno usual e também em relação ao produto interno definido no item (a).
a) Mostrar que
b) Determinar a norma de
Passo 1
Vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre produtos internos e normas no espaço vetorial
. Na parte a), a gente precisa mostrar que uma determinada expressão define um produto interno. Na parte b), vamos calcular a norma de um vetor específico usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular normas a partir dele.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a): mostrar que
define um produto interno em
.
Um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
- Comutatividade:
- Linearidade em cada componente.
- Positividade:
- Definitude:
se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a expressão dada.
Passo 3
1. Comutatividade:
Vamos trocar
e
:
Observando os termos, vemos que:
Portanto,
, cumprindo a comutatividade.
2. Linearidade:
Vamos verificar se o produto é linear em
:
Isso pode ser facilmente verificado expandindo as expressões. Portanto, a linearidade está satisfeita.
3. Positividade:
Calculamos
:
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero.
4. Definitude:
Precisamos garantir que
somente quando
. Vamos analizar:
A forma quadrática
pode ser representada por uma matriz simétrica:
Para que a forma quadrática seja positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos, o que é verdade para essa matriz. Portanto, as propriedades de positivdade e definitude estão satisfeitas.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b): determinar a norma do vetor
usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a).
Primeiro, o produto interno usual em
é dado por:
A norma é a raiz quadrada disso:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de
usando o produto interno definido na parte a):
Então, a norma é:
Resposta
a) Sim, a expressão
define um produto interno em
.
b) A norma de
é:
- Usando o produto interno usual:
- Usando o produto interno definido no item a):