Sejam e vetores do espaço vetorial .
a) Mostrar que define um produto interno sobre ;
b) Determinar a norma de em relação ao produto interno usual e também em relação ao produto interno definido no item (a).

Passo 1

Vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre produtos internos e normas no espaço vetorial . Na parte a), a gente precisa mostrar que uma determinada expressão define um produto interno. Na parte b), vamos calcular a norma de um vetor específico usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e como calcular normas a partir dele.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): mostrar que
define um produto interno em .
Um produto interno precisa satisfazer quatro propriedades básicas:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade em cada componente.
  3. Positividade:
  4. Definitude: se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a expressão dada.

Passo 3

1. Comutatividade:
Vamos trocar e :
Observando os termos, vemos que:
Portanto, , cumprindo a comutatividade.
2. Linearidade:
Vamos verificar se o produto é linear em :
Isso pode ser facilmente verificado expandindo as expressões. Portanto, a linearidade está satisfeita.
3. Positividade:
Calculamos :
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero.
4. Definitude:
Precisamos garantir que somente quando . Vamos analizar:
A forma quadrática pode ser representada por uma matriz simétrica:
Para que a forma quadrática seja positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos, o que é verdade para essa matriz. Portanto, as propriedades de positivdade e definitude estão satisfeitas.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b): determinar a norma do vetor usando tanto o produto interno usual quanto o produto definido na parte a).
Primeiro, o produto interno usual em é dado por:
A norma é a raiz quadrada disso:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de usando o produto interno definido na parte a):
Então, a norma é:

Resposta

a) Sim, a expressão define um produto interno em .
b) A norma de é:
  • Usando o produto interno usual:
  • Usando o produto interno definido no item a):

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a)
b)
c)
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