Uma rede de difração tem 800 réguas por milímetro. Um feixe de luz contendo comprimentos de onda de 500 a 700 nm atinge a grade. Os espectros de ordens diferentes se sobrepõem? Monte sua resposta com a devida análise usando as expressões pertinentes para redes de difração e a faixa de comprimentos de ondas dada.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre redes de difração! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma rede de difração com 800 réguas por milímetro e um feixe de luz com comprimentos de onda que variam de 500 a 700 nm. A pergunta é: os espectros de ordens diferentes se sobrepõem? Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas das redes de difração e analisar como as diferentes ordens de difração se comportam dentro da faixa de comprimentos de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o espaçamento entre as réguas da rede de difração, que chamamos de d = 1 mm800 = 1 times 10^-3 m800 = 1,25 times 10^-6 m . Sabemos que há 800 réguas por milímetro, então:

Passo 3

A equação fundamental para redes de difração é:
d cdot sin theta = m cdot lambda
onde:
  • é o espaçamento entre as réguas,
  • é o ângulo de difração,
  • é a ordem da difração,
  • é o comprimento de onda da luz.
Nosso objetivo é descobrir para quais ordens temos soluções reais para , ou seja, onde não excede 1.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar m = d cdot sin thetalambda :
mmáx = dlambda
Sabemos que , então o valor máximo de para cada é:
á
Vamos calcular á para os comprimentos de onda extremos, 500 nm e 700 nm.

Passo 5

Convertendo os comprimentos de onda para metros:
lambdamín = 500 nm = 500 times 10^-9 m í
lambdamáx = 700 nm = 700 times 10^-9 m á
Agora, calculamos mmáx = 1,25 times 10^-6 m500 times 10^-9 m = 2,5 á:
Para mmáx = 1,25 times 10^-6 m700 times 10^-9 m approx 1,785 :
á
Para :
á
Isso significa que para nm, até a ordem 2 é possível, e para nm, apenas até aproximadamente a ordem 1 é viável.

Passo 6

Como as ordens superiores a 1 para theta1 = sin^-1(m cdot lambdad) = sin^-1(1 cdot lambda1,25 times 10^-6) nm atingem theta2 = sin^-1(2 cdot 500 times 10^-91,25 times 10^-6) = sin^-1(0,8) approx 53,13^circ , precisamos verificar se, nessas ordens, os comprimentos de onda se sobrepõem.
Para a primeira ordem ( ):
Para a segunda ordem ( ) e nm:
Isso mostra que a segunda ordem existe para nm, mas para nm, á é menor que 2, ou seja, não há segunda ordem.

Passo 7

Para verificar a sobreposição, comparamos as posições das diferentes ordens para os comprimentos de onda dados.
Na primeira ordem ( theta1,500 = sin^-1(500 times 10^-91,25 times 10^-6) = sin^-1(0,4) approx 23,58^circ ):
Para theta1,700 = sin^-1(700 times 10^-91,25 times 10^-6) = sin^-1(0,56) approx 34,32^circ nm:
theta2,500 approx 53,13^circ
Para nm:
Na segunda ordem ( ) para nm:
Observamos que a segunda ordem para nm ( ) não interfere com a primeira ordem para nm ( ). Portanto, não há sobreposição entre os espectros das ordens diferentes dentro da faixa de comprimentos de onda fornecida.

Resposta

Não, os espectros de ordens diferentes não se sobrepõem dentro da faixa de comprimentos de onda de 500 a 700 nm para a rede de difração considerada.

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