em que
é a densidade de energia em função de
. Demonstre que
Dica: lembre que
e portanto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para demonstrar uma expressão para a densidade de energia
em função da frequência
. Isso está relacionado ao estudo da radiação de corpo negro, um tópico dentro da física que lida com como os objetos emitem radiação dependendo da temperatura. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mudanças de variáveis em integrais e a relação fundamental entre comprimento de onda
e frequência
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas expressões para a densidade de energia
:
Aqui,
é a densidade de energia em função do comprimento de onda
, e
em função da frequência
.
Passo 3
Sabemos que
, onde
é a velocidade da luz. Para relacionar as duas densidades de energia, precisamos expressar
em termos de
. Vamos derivar a relação entre
e
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
A magnitude dessa derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral original:
Como
, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Para que as duas integrais sejam iguais para qualquer intervalo, as funções dentro das integrais também devem ser iguais. Portanto:
Mas como
, podemos substituir
por
na expressão de
.
Passo 6
Sabemos que a densidade de energia para a radiação de corpo negro em função do comprimento de onda é dada pela Lei de Planck:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, demonstramos que a densidade de energia em função da frequência
é: