rhoT=integral0^infty rhoT(lambda) d lambda=integral0^infty rhoT^*(nu) d nu,
em que rhoT^*(nu) é a densidade de energia em função de nu. Demonstre que
rhoT^*(nu)=8 pi h nu^3c^3 1e^h c / lambda k T-1
Dica: lembre que lambda nu=c e portanto d nu neq d lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para demonstrar uma expressão para a densidade de energia em função da frequência . Isso está relacionado ao estudo da radiação de corpo negro, um tópico dentro da física que lida com como os objetos emitem radiação dependendo da temperatura. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de mudanças de variáveis em integrais e a relação fundamental entre comprimento de onda e frequência , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas expressões para a densidade de energia rhoT = integral0^infty rhoT(lambda) , dlambda = integral0^infty rhoT^*(nu) , dnu :
Aqui, é a densidade de energia em função do comprimento de onda , e em função da frequência .

Passo 3

Sabemos que lambda = cnu , onde dlambda = -cnu^2 , dnu é a velocidade da luz. Para relacionar as duas densidades de energia, precisamos expressar |dlambda| = cnu^2 , dnu em termos de . Vamos derivar a relação entre e :
Derivando ambos os lados em relação a :
A magnitude dessa derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos rhoT = integral0^infty rhoT(lambda) , dlambda = integral0^infty rhoT(lambda) cdot cnu^2 , dnu na integral original:
integral0^infty rhoT^*(nu) , dnu = integral0^infty rhoT(lambda) cdot cnu^2 , dnu
Como , podemos igualar as duas expressões:

Passo 5

Para que as duas integrais sejam iguais para qualquer intervalo, as funções dentro das integrais também devem ser iguais. Portanto:
rhoT^*(nu) = rhoT(lambda) cdot cnu^2
Mas como , podemos substituir por na expressão de .

Passo 6

Sabemos que a densidade de energia para a radiação de corpo negro em função do comprimento de onda é dada pela Lei de Planck:
rhoT(lambda) = 8 pi h clambda^5 cdot 1e^hclambda k T - 1
Substituindo rhoT(cnu) = 8 pi h c(cnu)^5 cdot 1e^hccnu k T - 1 = 8 pi h c nu^5c^5 cdot 1e^h nuk T - 1 = 8 pi h nu^5c^4 cdot 1e^h nuk T - 1 :

Passo 7

Agora, substituímos rhoT^*(nu) = rhoT(cnu) cdot cnu^2 = ( 8 pi h nu^5c^4 cdot 1e^h nuk T - 1 ) cdot cnu^2 = 8 pi h nu^3c^3 cdot 1e^h nuk T - 1 de volta na expressão para :

Resposta

Portanto, demonstramos que a densidade de energia em função da frequência rhoT^*(nu) = 8 pi h nu^3c^3 cdot 1e^h nuk T - 1 é:

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