Redução de ordem: (Variável Dependente Ausente). Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma de primeira ordem e assim resolvidas pelos métodos conhecidos. Se na equação diferencial
não estiver presente, fazemos a mudança
e assim obtemos uma equação de primeira ordem. Por exemplo, a substituição
reduz a equação
à equação linear de primeira ordem
.
Resolva por esse método as sequintes equações:
18a)
Resolva por esse método as sequintes equações:
18a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de redução de ordem. Aqui, estamos lidando com uma equação de segunda ordem onde a variável dependente
não aparece sozinha, só suas derivadas. Para resolver, vamos precisar mudar de variável para transformar essa equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar
de
, ou seja:
Essa substituição transforma a derivada segunda
em
, porque:
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na equação original:
Essa é nossa nova equação de primeira ordem em termos de
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Primeiro, vamos rearranjar os termos para a forma padrão:
Agora, identificamos o fator integrante. O coeficiente de
é
, então o fator integrante
é:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados:
Multiplicando por
, obtemos:
Passo 5
Lembrando que
, vamos agora integrar
para encontrar
:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.