Redução de ordem: (Variável Dependente Ausente). Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma de primeira ordem e assim resolvidas pelos métodos conhecidos. Se na equação diferencial y não estiver presente, fazemos a mudança z = y' e assim obtemos uma equação de primeira ordem. Por exemplo, a substituição z = y' reduz a equação x y'' - y' = 3 x^2 à equação linear de primeira ordem x z' - z = 3 x^2.
Resolva por esse método as sequintes equações:
18a) x y'' - y' = 3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de redução de ordem. Aqui, estamos lidando com uma equação de segunda ordem onde a variável dependente não aparece sozinha, só suas derivadas. Para resolver, vamos precisar mudar de variável para transformar essa equação de segunda ordem em uma de primeira ordem, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos chamar de , ou seja:
Essa substituição transforma a derivada segunda em , porque:

Passo 3

Agora, vamos substituir por na equação original:
Essa é nossa nova equação de primeira ordem em termos de .

Passo 4

Vamos resolver essa equação linear de primeira ordem. Primeiro, vamos rearranjar os termos para a forma padrão:
Agora, identificamos o fator integrante. O coeficiente de é , então o fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados:
Multiplicando por , obtemos:

Passo 5

Lembrando que , vamos agora integrar para encontrar :
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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