Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. x^2-6 x-5 y+14=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação . O objetivo é simplificar essa equação usando translação e rotação, além de encontrar o ângulo de rotação necessário. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o processo. Vamos deixar os termos de x^2 - 6x = 5y - 14 juntos e os termos de de um lado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-62)^2 = 9 . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples, facilitando a identificação de translações e rotações.
Pense assim: para completar o quadrado em x^2 - 6x + 9 - 9 = 5y - 14 , pegamos o coeficiente de (x - 3)^2 - 9 = 5y - 14 , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 na equação:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
(x - 3)^2 = 5y - 14 + 9
(x - 3)^2 = 5y - 5
Agora, isolamos 5y = (x - 3)^2 + 5 :
y = 15(x - 3)^2 + 1

Passo 5

Até aqui, vimos que a equação representa uma parábola que foi transladada para a direita em 3 unidades e para cima em 1 unidade. Não precisamos de rotação, pois a parábola está alinhada com os eixos coordenados.

Passo 6

No entanto, o exercício pede para verificar se há rotação. Como nossa equação final não possui termos mistos de , não há necessidade de rotação. Isso significa que o ângulo de rotação é zero.

Resposta

A equação reduzida na forma mais simples é
y = 15(x - 3)^2 + 1
com uma translação de 3 unidades para a direita e 1 unidade para cima. Não há rotação necessária, portanto, o ângulo de rotação é .

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