Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Então, temos a equação
. O que precisamos é simplificar essa equação usando translação e rotação dos eixos. Isso envolve identificar a forma da equação e aplicar algumas técnicas de álgebra para eliminar os termos mistos e lineares, facilitando a análise da curva representada. Vamos precisar entender como rotacionar o sistema de coordenadas para eliminar o termo
e, possivelmente, traduzir os eixos para simplificar ainda mais a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral da segunda grau, que é da forma
. Aqui, temos:
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o termo
para simplificar a equação. Para isso, usamos a rotação dos eixos. A fórmula para encontrar o ângulo de rotação
que elimina o termo
é:
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o ângulo
. Calculamos:
Calculando esse valor:
Então, dividindo por 2:
Esse é o ângulo pelo qual devemos rotacionar os eixos para eliminar o termo
.
Passo 5
Com o ângulo de rotação
, podemos definir as novas coordenadas
em termos das antigas
:
Substituindo
, calculamos
e
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação original com essas expressões:
Esse passo envolve expandir e simplificar todas as expressões para obter uma nova equação sem o termo
.
Passo 7
Após simplificar, a equação resultante na nova coordenada será da forma:
Note que o termo
foi eliminado devido à rotação, facilitando a identificação da natureza da conic.
Passo 8
Por fim, podemos realizar uma translação para eliminar os termos lineares
e
se necessário, centralizando a curva no novo sistema de coordenadas. Isso envolve completar o quadrado para ambos os termos
e
.
Resposta
Após realizar a rotação dos eixos em aproximadamente
e simplificar a equação, a forma reduzida da equação é:
Onde
e
são constantes determinadas a partir dos coeficientes da equação simplificada.