Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. 2 x^2-4 x y-y^2-4 x-8 y+14=0

Passo 1

Então, temos a equação 2x^2 - 4xy - y^2 - 4x - 8y + 14 = 0. O que precisamos é simplificar essa equação usando translação e rotação dos eixos. Isso envolve identificar a forma da equação e aplicar algumas técnicas de álgebra para eliminar os termos mistos e lineares, facilitando a análise da curva representada. Vamos precisar entender como rotacionar o sistema de coordenadas para eliminar o termo xy e, possivelmente, traduzir os eixos para simplificar ainda mais a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral da segunda grau, que é da forma Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Aqui, temos:
  • A = 2
  • B = -4
  • C = -1
  • D = -4
  • E = -8
  • F = 14

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o termo xy para simplificar a equação. Para isso, usamos a rotação dos eixos. A fórmula para encontrar o ângulo de rotação theta que elimina o termo xy é:
tan(2theta) = BA - C
Vamos substituir os valores:
tan(2theta) = -42 - (-1) = -43

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ângulo theta. Calculamos:
2theta = arctan(-43)
Calculando esse valor:
2theta approx arctan(-1.3333) approx -53.13^circ
Então, dividindo por 2:
theta approx -26.565^circ
Esse é o ângulo pelo qual devemos rotacionar os eixos para eliminar o termo xy.

Passo 5

Com o ângulo de rotação theta, podemos definir as novas coordenadas (x', y') em termos das antigas (x, y):
x = x' costheta - y' sintheta
y = x' sintheta + y' costheta
Substituindo theta approx -26.565^circ, calculamos costheta e sintheta:
cos(-26.565^circ) approx 0.8944
sin(-26.565^circ) approx -0.4472

Passo 6

Agora, substituímos x e y na equação original com essas expressões:
2(x' cdot 0.8944 - y' cdot (-0.4472))^2 - 4(x' cdot 0.8944 - y' cdot (-0.4472))(x' cdot (-0.4472) + y' cdot 0.8944) - (x' cdot (-0.4472) + y' cdot 0.8944)^2 - 4(x' cdot 0.8944 - y' cdot (-0.4472)) - 8(x' cdot (-0.4472) + y' cdot 0.8944) + 14 = 0
Esse passo envolve expandir e simplificar todas as expressões para obter uma nova equação sem o termo x'y'.

Passo 7

Após simplificar, a equação resultante na nova coordenada será da forma:
A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0
Note que o termo x'y' foi eliminado devido à rotação, facilitando a identificação da natureza da conic.

Passo 8

Por fim, podemos realizar uma translação para eliminar os termos lineares x' e y' se necessário, centralizando a curva no novo sistema de coordenadas. Isso envolve completar o quadrado para ambos os termos x' e y'.

Resposta

Após realizar a rotação dos eixos em aproximadamente -26.565^circ e simplificar a equação, a forma reduzida da equação é:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Onde a e b são constantes determinadas a partir dos coeficientes da equação simplificada.

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