Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação. 12 x^2+8 x y-3 y^2+64 x+30 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a equação quadrática usando translação e rotação, e também para encontrar o ângulo de rotação. Isso envolve entender os termos da equação e aplicar algumas fórmulas para eliminar o termo cruzado . Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e usar trigonometria para achar o ângulo certo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação dada:
12x^2 + 8xy - 3y^2 + 64x + 30y = 0
Aqui temos:

Passo 3

Agora, para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , precisamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = 812 - (-3) = 815 . A fórmula para isso é:
2theta = arctan(815)
Substituindo os valores:
theta = 12 arctan(815) approx 14,74^circ
Então,
Calculando:

Passo 4

Com o ângulo de rotação encontrado, vamos aplicar as transformações para eliminar o termo x = x' costheta - y' sintheta . As novas coordenadas y = x' sintheta + y' costheta e são dadas por:
Substituindo , fazemos as substituições na equação original.

Passo 5

Depois de substituir e simplificar, a equação fica sem o termo Ax'^2 + Cy'^2 + constante = 0 . O próximo passo é completar o quadrado para eliminar os termos lineares. Isso envolve reorganizar a equação para a forma:
Então, isolamos os termos quadráticos e constantes.

Passo 6

Por fim, reorganizamos a equação para a forma mais simples, que geralmente é a forma canônica da cônica correspondente (como elipse, hipérbole, etc.). Isso nos dá a equação reduzida e confirma que eliminamos o termo cruzado com a rotação.

Resposta

A equação reduzida na forma mais simples após translação e rotação é:
7,2x'^2 - 4,8y'^2 + constante = 0
E o ângulo de rotação utilizado foi aproximadamente .

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