Reduza a equação à forma mais simples através de translação eventual e rotação e dê o ângulo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a equação quadrática usando translação e rotação, e também para encontrar o ângulo de rotação. Isso envolve entender os termos da equação e aplicar algumas fórmulas para eliminar o termo cruzado
. Para resolver, vamos precisar identificar os coeficientes da equação e usar trigonometria para achar o ângulo certo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação dada:
Aqui temos:
Passo 3
Agora, para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Então,
Calculando:
Passo 4
Com o ângulo de rotação encontrado, vamos aplicar as transformações para eliminar o termo
. As novas coordenadas
e
são dadas por:
Substituindo
, fazemos as substituições na equação original.
Passo 5
Depois de substituir e simplificar, a equação fica sem o termo
. O próximo passo é completar o quadrado para eliminar os termos lineares. Isso envolve reorganizar a equação para a forma:
Então, isolamos os termos quadráticos e constantes.
Passo 6
Por fim, reorganizamos a equação para a forma mais simples, que geralmente é a forma canônica da cônica correspondente (como elipse, hipérbole, etc.). Isso nos dá a equação reduzida e confirma que eliminamos o termo cruzado com a rotação.
Resposta
A equação reduzida na forma mais simples após translação e rotação é:
E o ângulo de rotação utilizado foi aproximadamente
.