Seja || || uma norma no espaço vetorial . Mostre que
para todos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, usando uma norma num espaço vetorial , a diferença entre as normas de dois vetores e é menor ou igual à norma da diferença desses vetores. Em termos simples, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das normas, especialmente a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma norma. Uma norma em um espaço vetorial é uma função que atribui a cada vetor em um número real não negativo , que satisfaz três propriedades:
  1. Positividade: e se e somente se é o vetor nulo.
  2. Homogeneidade: Para todo escalar , .
  3. Desigualdade Triangular: para todos .
Essas propriedades vão nos ajudar a provar a desigualdade que a gente precisa.

Passo 3

Agora, vamos considerar os vetores e em . A ideia é relacionar e com . Podemos reescrever como . Isso nos permite usar a desigualdade triangular:
Isso nos dá:

Passo 4

De forma similar, podemos reescrever como e aplicar novamente a desigualdade triangular:
Como (já que a norma é indefinida quanto à direção), temos:
Isso significa que:

Passo 5

Juntando as duas desigualdades que obtivemos:
Isso implica que o valor absoluto da diferença das normas de e é menor ou igual à norma da diferença entre e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Responda ou , justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Responda ou , justificando:
(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em é uma base de .
Responda ou , justificando:
(j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de .