Seja || || uma norma no espaço vetorial
. Mostre que
para todos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, usando uma norma
num espaço vetorial
, a diferença entre as normas de dois vetores
e
é menor ou igual à norma da diferença desses vetores. Em termos simples, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das normas, especialmente a desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é uma norma. Uma norma
em um espaço vetorial
é uma função que atribui a cada vetor
em
um número real não negativo
, que satisfaz três propriedades:
- Positividade:
e se e somente se é o vetor nulo. - Homogeneidade: Para todo escalar
, . - Desigualdade Triangular:
para todos .
Essas propriedades vão nos ajudar a provar a desigualdade que a gente precisa.
Passo 3
Agora, vamos considerar os vetores
e
em
. A ideia é relacionar
e
com
. Podemos reescrever
como
. Isso nos permite usar a desigualdade triangular:
Isso nos dá:
Passo 4
De forma similar, podemos reescrever
como
e aplicar novamente a desigualdade triangular:
Como
(já que a norma é indefinida quanto à direção), temos:
Isso significa que:
Passo 5
Juntando as duas desigualdades que obtivemos:
Isso implica que o valor absoluto da diferença das normas de
e
é menor ou igual à norma da diferença entre
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Responda
ou
, justificando:
(a) espaço vetorial nulo tem dimensão zero.
(a)
Reduza as equações a seguir e identifique a quádrica que cada uma representa
.
Responda
ou
, justificando:
(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em é uma base de
.
(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em
Responda
ou
, justificando:
(j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de .
(j) Existem pelo menos dois subespaços tridimensionais distintos de