Seja || || uma norma no espaço vetorial V. Mostre que
mid|u|-|v||<=| u-v | ,
para todos u, v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, usando uma norma | |u| - |v| | <= | u - v | num espaço vetorial , a diferença entre as normas de dois vetores e é menor ou igual à norma da diferença desses vetores. Em termos simples, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das normas, especialmente a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma norma. Uma norma em um espaço vetorial é uma função que atribui a cada vetor em um número real não negativo , que satisfaz três propriedades:
  1. Positividade: e se e somente se é o vetor nulo.
  2. Homogeneidade: Para todo escalar , .
  3. Desigualdade Triangular: para todos .
Essas propriedades vão nos ajudar a provar a desigualdade que a gente precisa.

Passo 3

Agora, vamos considerar os vetores |u| = |v + (u - v)| <= |v| + |u - v| e |u| - |v| <= |u - v| em . A ideia é relacionar e com . Podemos reescrever como . Isso nos permite usar a desigualdade triangular:
Isso nos dá:

Passo 4

De forma similar, podemos reescrever |v| = |u + (v - u)| <= |u| + |v - u| como |v| - |u| <= |u - v| e aplicar novamente a desigualdade triangular:
|u| - |v| >= -|u - v|
Como (já que a norma é indefinida quanto à direção), temos:
Isso significa que:

Passo 5

Juntando as duas desigualdades que obtivemos:
-|u - v| <= |u| - |v| <= |u - v|
Isso implica que o valor absoluto da diferença das normas de | |u| - |v| | <= | u - v | e é menor ou igual à norma da diferença entre e :

Resposta

Portanto, mostramos que:
| |u| - |v| | <= | u - v |

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