Reduza a expressão dada em um único logaritmo.
log 9 x+log 3 6-3 log 9 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão log 9 x + log 3 6 - 3 log 9 z e o objetivo é juntá-la em um único logaritmo. Vamos usar propriedades dos logaritmos para simplificar isso. Vamos precisar lembrar das mudanças de base e das propriedades de soma e subtração de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar todos os logaritmos para a mesma base. Vamos escolher a base 3 porque já temos dois logaritmos com base 3 e 9 é 3^2. Então, log9 x pode ser escrito como log3 xlog3 9. Sabemos que log3 9 = 2, então log9 x = log3 x2.

Passo 3

Aplicando o mesmo raciocínio para log9 z, temos log9 z = log3 z2. Agora, nossa expressão fica:
log3 x2 + log3 6 - 3 cdot log3 z2

Passo 4

Vamos simplificar os coeficientes. O termo 3 cdot log3 z2 fica 32 log3 z. Então, a expressão agora é:
log3 x2 + log3 6 - 32 log3 z

Passo 5

Para combinar os logaritmos, vamos usar as propriedades:
  • logb a + logb c = logb (a cdot c)
  • k logb a = logb (a^k)
Primeiro, vamos combinar os termos com 12:
log3 x2 - 32 log3 z = 12 (log3 x - 3 log3 z) = 12 log3 ( xz^3 )

Passo 6

Agora, somamos com log3 6:
12 log3 ( xz^3 ) + log3 6 = log3 ( ( xz^3 )^12 cdot 6 )
Simplificando:
log3 ( raizxz^32 cdot 6 ) = log3 ( 6 raizxz^32 )

Resposta

A expressão reduzida em um único logaritmo é log3 ( dfrac6, raizx,z^,32, ).

Exercícios relacionados