Reduza à forma r * e^(i * theta) cada um dos números complexos abaixo
(1 + i * raiz(3)) / (raiz(3) - i)

Passo 1

Beleza! A gente vai transformar o número complexo (1 + i * raiz(3)) / (raiz(3) - i) na forma polar, que é r * e^(i * theta). Isso envolve trabalhar com números complexos, calculando o módulo (que é o r) e o argumento (que é o theta). Vamos precisar manipular frações de complexos e usar algumas propriedades de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração (1 + i * raiz(3)) / (raiz(3) - i). Para simplificar, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é raiz(3) + i.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
No numerador:
Lembrando que , então:
No denominador:
Então, a fração simplificada fica:

Passo 4

Agora que simplificamos a fração para i, vamos transformar isso na forma polar r * e^(i * theta).
O número complexo i é equivalente a , então:
  • O módulo r é a distância até a origem, que é .
  • O argumento theta é o ângulo em relação ao eixo real. Como está no ponto 0,1, radianos.

Resposta

Portanto, a forma polar é .

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