Reduza à forma
cada um dos números complexos abaixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo na forma de uma fração:
. Nosso objetivo é reescrever esse número na forma polar, que é
. Para isso, vamos precisar trabalhar com a representação de números complexos, entender como encontrar o módulo
e o argumento
.
Passo 2
Para simplificar a fração
, vamos eliminar o número imaginário do denominador. Fazemos isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 3
Vamos multiplicar o numerador e o denominador:
No numerador:
No denominador:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo
do número complexo
. O módulo é dado por:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o argumento
. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real, calculado pela tangente inversa:
Resposta
A forma polar do número complexo
é:
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Escreva os números complexos abaixo na forma
Seja
a unidade imaginária, calcule
, observe que as potências começam a se repetir a partir de
. Verifique que vale a seguinte expressão
para
e
. Aplique este resultado para calcular: