Reduza as matrizer in forma ercada reduzida por Livas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de redução de matrizes juntos! A gente tem uma matriz inicial e precisa transformá-la em forma reduzida usando operações de linha. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente operações elementares de linhas para reduzir a matriz. Vamos precisar trocar linhas, multiplicar linhas por constantes e substituir linhas por combinações lineares de outras.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz inicial:
0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1
O primeiro passo para reduzir a matriz é ter um 1 na posição do primeiro elemento da primeira linha (chamamos isso de pivô). Como o elemento na posição (1,1) é 0, precisamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um número diferente de zero nessa posição.
Passo 3
Vamos trocar a primeira linha ( L1 rightarrow L2 Rightarrow 1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1 ) com a segunda linha ():
Agora, temos um 1 na posição (1,1), que é ótimo para começar a reduzir a matriz.
Passo 4
Em seguida, queremos zerar todos os elementos abaixo do pivô na coluna 1. Para isso, vamos ajustar as outras linhas usando o L3 = L3 - 3L1 Rightarrow 3 - 3(1) = 0, -4 - 3(1) = -7, 2 - 3(3) = -7 :
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos um 2 lá, então vamos dividir a segunda linha ( L2 = 12L2 Rightarrow 0 & 1 & 1 ) por 2:
1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
A matriz fica:
Passo 6
Em seguida, queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Vamos fazer isso ajustando as linhas L1 = L1 - L2 Rightarrow 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 3 - 1 = 2 , L3 = L3 + 7L2 Rightarrow 0 + 0 = 0, -7 + 7(1) = 0, -7 + 7(1) = 0 e L4 = L4 + 5L2 Rightarrow 0 + 0 = 0, -5 + 5(1) = 0, -5 + 5(1) = 0 usando 1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
Para : Subtraímos de .
Para : Adicionamos 7 vezes a .
Para : Adicionamos 5 vezes a .
Vamos calcular:
A matriz agora é:
Passo 7
Por fim, observamos que as últimas duas linhas são linhas de zeros, o que significa que já chegamos à forma reduzida da matriz. Não há mais operações necessárias.