Reduza as matrizer in forma ercada reduzida por Livas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de redução de matrizes juntos! A gente tem uma matriz inicial e precisa transformá-la em forma reduzida usando operações de linha. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente operações elementares de linhas para reduzir a matriz. Vamos precisar trocar linhas, multiplicar linhas por constantes e substituir linhas por combinações lineares de outras.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz inicial:
O primeiro passo para reduzir a matriz é ter um 1 na posição do primeiro elemento da primeira linha (chamamos isso de pivô). Como o elemento na posição (1,1) é 0, precisamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um número diferente de zero nessa posição.
Passo 3
Vamos trocar a primeira linha () com a segunda linha ():
Agora, temos um 1 na posição (1,1), que é ótimo para começar a reduzir a matriz.
Passo 4
Em seguida, queremos zerar todos os elementos abaixo do pivô na coluna 1. Para isso, vamos ajustar as outras linhas usando o :
Para a terceira linha (): Subtraímos 3 vezes de .
Para a quarta linha (): Subtraímos 2 vezes de .
Vamos fazer isso:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos um 2 lá, então vamos dividir a segunda linha () por 2:
A matriz fica:
Passo 6
Em seguida, queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Vamos fazer isso ajustando as linhas , e usando :
Para : Subtraímos de .
Para : Adicionamos 7 vezes a .
Para : Adicionamos 5 vezes a .
Vamos calcular:
A matriz agora é:
Passo 7
Por fim, observamos que as últimas duas linhas são linhas de zeros, o que significa que já chegamos à forma reduzida da matriz. Não há mais operações necessárias.