Reduza as matrizer in forma ercada reduzida por Livas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de redução de matrizes juntos! A gente tem uma matriz inicial e precisa transformá-la em forma reduzida usando operações de linha. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente operações elementares de linhas para reduzir a matriz. Vamos precisar trocar linhas, multiplicar linhas por constantes e substituir linhas por combinações lineares de outras.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz inicial:
O primeiro passo para reduzir a matriz é ter um 1 na posição do primeiro elemento da primeira linha (chamamos isso de pivô). Como o elemento na posição (1,1) é 0, precisamos trocar a primeira linha com uma outra que tenha um número diferente de zero nessa posição.

Passo 3

Vamos trocar a primeira linha ( ) com a segunda linha ( ):
Agora, temos um 1 na posição (1,1), que é ótimo para começar a reduzir a matriz.

Passo 4

Em seguida, queremos zerar todos os elementos abaixo do pivô na coluna 1. Para isso, vamos ajustar as outras linhas usando o :
  • Para a terceira linha ( ): Subtraímos 3 vezes de .
  • Para a quarta linha ( ): Subtraímos 2 vezes de .
Vamos fazer isso:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos um 2 lá, então vamos dividir a segunda linha ( ) por 2:
A matriz fica:

Passo 6

Em seguida, queremos zerar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna. Vamos fazer isso ajustando as linhas , e usando :
  • Para : Subtraímos de .
  • Para : Adicionamos 7 vezes a .
  • Para : Adicionamos 5 vezes a .
Vamos calcular:
A matriz agora é:

Passo 7

Por fim, observamos que as últimas duas linhas são linhas de zeros, o que significa que já chegamos à forma reduzida da matriz. Não há mais operações necessárias.

Resposta

A forma reduzida por Livas da matriz dada é:

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Sejam , . Nos ítens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(e)
Sejam , . Nos ítens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(d) ;
Em cada parte, encontre um sistema linear correspondente à matriz aumentada dada:
Prove que o oposto de é .