Sejam P1=(1,0,1), P2=(0,1,1), P3=(1,2,1), e P=(-1,4,1)
Escreva o vetor P1 P como combinação linear dos vetores P1 P2 e P1 P3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos quatro pontos no espaço: , , e . A gente precisa escrever o vetor que vai de até , que é , como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores P1 P2 = P2 - P1 = (0-1, , 1-0, , 1-1) = (-1, , 1, , 0) e P1 P3 = P3 - P1 = (1-1, , 2-0, , 1-1) = (0, , 2, , 0) . Para achar o vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos achar o vetor P1 P = P - P1 = (-1-1, , 4-0, , 1-1) = (-2, , 4, , 0) :

Passo 4

Queremos expressar P1 P = a cdot P1 P2 + b cdot P1 P3 como uma combinação linear de (-2, , 4, , 0) = a cdot (-1, , 1, , 0) + b cdot (0, , 2, , 0) e . Ou seja, precisamos encontrar escalares e tais que:
Substituindo os vetores que encontramos:

Passo 5

Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações:
-2 = -a + 0b 4 = a + 2b 0 = 0a + 0b
A terceira equação é , que não nos dá informação. Então, vamos resolver as duas primeiras.

Passo 6

Da primeira equação:
-2 = -a implies a = 2
Agora, substituímos 4 = 2 + 2b implies 4 - 2 = 2b implies 2 = 2b implies b = 1 na segunda equação:

Passo 7

Encontramos que P1 P = 2 cdot P1 P2 + 1 cdot P1 P3 e . Então, a combinação linear fica:

Resposta

O vetor P1 P = 2 cdot P1 P2 + 1 cdot P1 P3 pode ser escrito como:

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