Verifique se u=(1,2,1) e v=(3,2,3) são paralelos ao plano pi: 2 x-3 y+4 z-600=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas vetores, u = (1, 2, 1) e v = (3, 2, 3), e queremos verificar se eles são paralelos ao plano pi definido pela equação 2x - 3y + 4z - 600 = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores normais a planos e como verificar a paralelismo usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano pi. A equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal. No nosso caso, o vetor normal n é (2, -3, 4).

Passo 3

Agora, para verificar se um vetor é paralelo ao plano, precisamos ver se ele é perpendicular ao vetor normal do plano. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, queremos que u cdot n = 0 e v cdot n = 0 para que ambos sejam paralelos ao plano.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar de u com n:
u cdot n = (1)(2) + (2)(-3) + (1)(4) = 2 - 6 + 4 = 0
Como o resultado é zero, isso significa que u é perpendicular ao vetor normal e, portanto, paralelo ao plano pi.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar de v com n:
v cdot n = (3)(2) + (2)(-3) + (3)(4) = 6 - 6 + 12 = 12
Aqui, o resultado não é zero, o que indica que v não é perpendicular ao vetor normal e, portanto, não é paralelo ao plano pi.

Resposta

O vetor u = (1, 2, 1) é paralelo ao plano pi, enquanto o vetor v = (3, 2, 3) não é paralelo ao plano.

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