Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar a equação quadrática na forma canônica. Isso significa reescrever a equação de um jeito mais simples, que ajude a identificar que tipo de superfície ela representa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma canônica. A equação dada é:
Vamos isolar o termo :

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação de uma forma que destaque os coeficientes de cada termo ao quadrado. Para isso, podemos dividir todos os termos por , mas isso não é tão útil aqui. Em vez disso, vamos reconhecer que a equação já está quase na forma padrão de uma quadra.

Passo 4

A forma canônica para uma hiperbólica dupla é:
Comparando com a nossa equação , podemos reescrever como:

Passo 5

Agora que temos a equação na forma canônica, podemos identificar os valores de , e :

Passo 6

Com esses valores, podemos descrever o gráfico da quadra. A equação representa uma hipérbole dupla centrada na origem, que se abre ao longo do eixo . Isso significa que a superfície tem duas folhas que se estendem infinitamente em direções opostas ao longo do eixo .

Resposta

A forma canônica da equação é . A quadra representada é uma hipérbole dupla que se abre ao longo do eixo .

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